Aksjomat zbioru pustego

Aksjomat zbioru pustego – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla, zakładający istnienie zbioru pustego[1].

Istnieje zbiór taki, że żaden element do niego nie należy. Można to zapisać zdaniem logicznym[1]:

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość – jest to zbiór pusty

Wraz z aksjomatem nieskończoności zaliczany jest do absolutnych pewników istnienia – postuluje on bowiem istnienie pewnego obiektu matematycznego (w tym wypadku zbioru pustego) bez żadnych dodatkowych założeń, w przeciwieństwie do większości aksjomatów Zermelo-Frenkla, uzależniających istnienie nowych obiektów od pewnych obiektów już istniejących[2].

Aksjomat zbioru pustego zazwyczaj wymienia się wśród aksjomatów Zermela-Fraenkla. Można go jednak bez szkody dla teorii pominąć, bowiem wynika on z aksjomatu nieskończoności – aksjomat nieskończoności gwarantuje istnienie zbioru, którego jednym z elementów jest właśnie zbiór pusty.

Jeśli język teorii mnogości jest uzupełniony o symbol zbioru pustego jako zbioru zdefiniowanego przez warunek , to aksjomat nieskończoności gwarantujący istnienie zbioru zawiera frazę w przeciwnym razie trzeba ją zastąpić przez frazę

PrzypisyEdytuj

  1. a b Eric W. Weisstein, „Axiom of the Empty Set” na MathWorld.
  2. Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 69.

BibliografiaEdytuj