Aksjomaty oddzielania

Schemat aksjomatów oddzielania (aksjomaty wyżej są silniejsze, linia oznacza wynikanie).

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T2 (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

Ciąg główny aksjomatów oddzielaniaEdytuj

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane   Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy   wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu   wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów   jest ustalone.

Niech   będzie topologią na zbiorze   Powiemy, że przestrzeń topologiczna   spełnia aksjomat:

  • T0, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów   istnieje zbiór otwarty w   który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;
  • T1, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów   istnieje zbiór otwarty   taki, że   ale  
  • T2, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów   istnieją rozłączne zbiory otwarte   i   takie, że   i  
  • T3, jeśli
  spełnia aksjomat   i dla każdego zbioru domkniętego   i dowolnego punktu   można znaleźć rozłączne zbiory otwarte   takie, że   i  
  spełnia aksjomat   i dla każdego zbioru domkniętego   i dowolnego punktu   można znaleźć funkcję ciągłą   taką, że   i   dla wszystkich punktów  
  • T4, jeśli
  spełnia aksjomat   i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych   (czyli  ) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte   takie, że   i  
  • T5, jeśli
każda podprzestrzeń przestrzeni   spełnia aksjomat  
  • T6, jeśli
  spełnia aksjomat   i każdy domknięty podzbiór   jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat  ” mówimy po prostu, że jest   Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

Własności i przykładyEdytuj

 

gdzie   należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat   spełnia także aksjomat  . Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

  • Aksjomaty  własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność   nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu   czyli dziedzicznej normalności.
  • Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności   są zaliczane do aksjomatów oddzielania:
Przestrzeń T1   spełnia aksjomat   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów   takich, że   istnieją zbiory otwarte   takie, że     i  
Przestrzeń T1   spełnia aksjomat   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów   istnieje funkcja ciągła   taka, że   i  

Zobacz teżEdytuj