Algebra Banacha

Algebra Banachaprzestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.

Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie -adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb -adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a[1].

Jedynka w algebrze BanachaEdytuj

Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha   z trywialnym mnożeniem, tj.   Każdą algebrę Banacha   można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by   była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej   wprowadza się działanie mnożenia wzorem

 

wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą

 [2].

Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie   przez  

Ciągłość mnożenia w algebrze BanachaEdytuj

W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła. Jest to warunek charakteryzujący algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha co do przenormowania. Dokładniej, jeżeli   jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą   oraz mnożenie w niej jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych, to istnieje norma równoważna na   wraz z którą   jest algebrą Banacha. Na przykład funkcja

 

jest normą równoważną normie   oraz jest podmultiplikatywna, tj.   wyposażona w tę normę jest algebrą Banacha[3].

PrzykładyEdytuj

  • Niech   lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech   oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych   że dla każdego   zbiór
 
jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń   jest zwarta, każda funkcja ciągła na   spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie   Algebra   z normą supremum:
 
jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń   jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).
 
jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy  
  • Niech   oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.
     
Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg   o wyrazach z przestrzeni   o tej własności, że   dla każdej liczby naturalnej   oraz
 
dla każdej funkcji   Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara   przestrzeń   funkcji  -całkowalnych na   z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:
 
Algebra   ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa   jest dyskretna.

Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnegoEdytuj

Niech   będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór   złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w   jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z   Jeżeli   oraz

 

to   Ponadto

 [4].
Dowód. Niech   będą liczbami naturalnymi. Wówczas
 
Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu   jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu   (z zupełności  ), tj.
 
Ponadto
 
oraz
 
ponieważ   Pokazuje to, że   Co więcej,
 

Z powyższego wynika, że grupa   jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy  )[5].

Dowód. Niech   będzie elementem odwracalnym oraz niech   będzie dowolne. Wówczas   W przypadku gdy   element   jest również odwracalny ponieważ
 
więc element   (a więc i samo  ) jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja

 

jest ciągła, tj.   jest grupą topologiczną[6].

Dowód. Niech   Jeżeli   to  
Stąd
 
Ostatecznie
 
co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.

Ideały i ilorazowe algebry BanachaEdytuj

Niech   będzie algebrą Banacha oraz niech   będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności,   jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa   jest przestrzenią Banacha. Ponieważ   jest ideałem dwustronnym,   jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.

Dowód. Niech   Wówczas
 
Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element   jest postaci   dla pewnego  [7].

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli   jest dowolnym ideałem w   to jego domknięcie też jest ideałem w  

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał   w   jest postaci
 
dla pewnego zwartego podzbioru   Algebra ilorazowa   jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z  [8][9].
  • Dla każdej przestrzeni Banacha   zbiór   złożony ze wszystkich operatorów zwartych na   jest domkniętym ideałem w   Algebra ilorazowa   bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni   (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy   jest ośrodkową przestrzenią Hilberta[10]).

Przemienne algebry BanachaEdytuj

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra   funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa   które znikają w nieskończoności. Jeżeli   jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych   z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda

 

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy   jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multiplikatywne oddzielają punkty w  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.
  • Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.
  • Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.
  • Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.