Otwórz menu główne

Algebra Liego – to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych i jednocześnie algebra, w której zdefiniowano mnożenie elementów zwane nawiasem Liego (patrz niżej). Algebry Liego są związane z grupami Liego.

Elementy bazy algebry Liego nazywa się generatorami grupy Liego – za ich pomocą których można obliczyć dowolny element grupy Liego poprzez eksponentę. Każdej grupie Liego odpowiada algebra Liego i odwrotnie. Odpowiedniość ta pozwala badać grupy Liego za pomocą badania algebr Liego.

Wymiar algebry Liego jest równy liczbie niezależnych generatorów.

Rzeczywistą algebrą Liego nazywa się algebrę Liego, jeśli jest przestrzenią wektorową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych (analogicznie definiuje się zespoloną algebrę Liego).

Każda algebra Liego może być reprezentowaną za pomocą zbioru macierzy kwadratowych. Dany wybór zbiór macierzy nazywa się reprezentacją algebry Liego. Przy tym zachodzi wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy algebrą a jej reprezentacją zwana homeomorfizmem: jest to wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie elementów algebry macierzom kwadratowym, zachowujące przy tym działania dodawania i mnożenia. Wybór wymiaru macierzy jest przy tym dowolny – stąd istnieje wiele możliwych reprezentacji danej algebry. Algebry Liego oraz ich reprezentacje są używane w fizyce, w szczególności w mechanice kwantowej i fizyce cząstek elementarnych. Mają też zastosowanie w szukaniu rozwiązań układów równań nieliniowych itd.

Nazwa algebr pochodzi od Sophusa Lie. Dawniej nazywano je grupami infinitesimalnymi.

DefinicjaEdytuj

Algebra Liego nad ciałem   (zwykle   lub  ) to przestrzeń liniowa   nad ciałem   w której dodatkowo określone jest działanie dwuargumentowe   nazywane nawiasem Liego, spełniające dla dowolnych   i   następujące warunki:

  • dwuliniowość:
     
     
  • antysymetryczność:
     
  • tożsamość Jacobiego:
     

PrzykładyEdytuj

Przestrzenie wektoroweEdytuj

  • Wektory przestrzeni   z nawiasem Liego zdefiniowanym tak, dla dowolnych wektorów zeruje się, tj.   tworzą algebrę Liego. Dowód: w każdym z warunków, jakie ma spełniać mnożenie otrzyma się tożsamość, gdyż każdy nawias Liego występujący tam zeruje się.
  • Macierze kwadratowe   o elementach rzeczywistych, z nawiasem Liego będącym komutatorem macierzy, tj.
     

tworzą algebrę Liego pełnej grupy liniowej   macierzy odwracalnych (tj. takich, dla których wyznacznik  )

  • Macierze antyhermitowskie wymiaru   tworzą rzeczywistą algebrę Liego   z nawiasem Liego zadanym przez komutator macierzy i tworzy rzeczywistą algebrę Liego dla grupy macierzy unitarnych  

PodprzestrzenieEdytuj

  • W ogólnej liniowej algebrze Liego   zawarta jest specjalna liniowa algebra Liego   złożona z macierzy o śladzie równym zeru.

Grupy macierzy rzeczywistychEdytuj

Każda grupa Liego   definiuje powiązaną z nią algebrę Liego   Zależność ogólna jest nieco złożona, ale w przypadku macierzy rzeczywistych / zespolonych może być sformułowana poprzez eksponentę macierzy: algebrę Liego   tworzą te macierze   dla których   jest macierzą należącą do grupy   dla wszystkich liczb   rzeczywistych / zespolonych.

Przykłady nawiasów LiegoEdytuj

Nawias równy zeroEdytuj

Dowolna przestrzeń wektorowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dla wszystkich elementów jako równy zero, tj.

 

jest algebrą Liego. Taka algebra Liego jest przemienna (abelowa).

Iloczyn wektorowyEdytuj

Jako nawias Liego w przestrzeni wektorowej   przyjmujemy iloczyn wektorowy elementów, tj.

 

Łatwo sprawdzić, że iloczyn wektorowy spełnia warunki definicji nawiasu Liego.

KomutatorEdytuj

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna i taka, w której nawias Liego jest zdefiniowany jako komutator, tj.

 

Komutator spełnia wszystkie warunki definicji nawiasu Liego.

Algebry Liego grup macierzy rzeczywistychEdytuj

W przypadku algebry Liego określonej na grupie macierzy wymiaru n nawias Liego jest zadawany przez komutator macierzy   Zauważmy, że komutator też jest macierzą wymiaru n.

Grupy macierzy tworzące algebry Liego:

  • grupy macierzy odwracalnych   nad pierścieniem   łącznym z jedynką,
  • grupy macierzy specjalnych odwracalnych   (o wyznaczniku 1),
  • grupy macierzy ortogonalnych  
  • grupy macierzy specjalnych ortogonalnych   (o wyznaczniku 1),

Algebry Liego grup macierzy o elementach zespolonychEdytuj

1) algebra  
– zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru   o elementach zespolonych,
2) algebra  
– zbiór macierzy zespolonych o śladzie równym zeru; podalgebra algebry  
3) algebra  
– zbiór macierzy antyhermitowskich; podalgebra algebry  
4) algebra  
– podalgebra algebry   będąca przecięciem dwóch powyższych,
5) algebra  
– algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru   o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

Generatory algebry i jej wymiar. Stałe strukturyEdytuj

(1) Generatorami algebry Liego nazywa się zbiór liniowo niezależnych elementów   takich że każdy element   algebry wyraża się poprzez kombinację liniową generatorów, tj.   Generatory tworzą więc bazę przestrzeni liniowej. Generatory pozwalają też tworzyć dowolny element grupy Liego, związanej z daną algebrą Liego, poprzez obliczenie eksponenty, tj.

 

(2) Wymiar algebry Liego jest równy maksymalnej liczbie liniowo niezależnych generatorów.

(3) Zbiór generatorów charakteryzują warunki komutacyjne,, tj. komutator dowolnych dwóch generatorów jest liniową kombinacją wszystkich generatorów

 

przy czym współczynniki   są liczbami – nazywa się je stałymi struktury algebry Liego. Algebra o wymiarze   ma   stałych struktury.

(4) Dobór generatorów nie jest unikalny (podobnie jak dobór bazy przestrzeni wektorowej). Unikalność danej algebry jednoznacznie charakteryzują stałe struktury.

(5) Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra jest grupą abelową (przemienną).

Przykłady algebr Liego i ich generatorówEdytuj

Algebra Heisenberga H3(R)Edytuj

(a) Jest to 3-wymiarowa algebra Liego o generatorach   oraz nawiasach Liego zdefiniowanych następująco:

 

(b) W przestrzeni macierzy 3×3 algebrę tą reprezentują górnotrójkątne macierze:

 

a nawias Liego dany jest przez komutator macierzy.

Elementy grupy Liego odpowiadającej tej reprezentacji algebry Liego są macierzami górnotrójkątnymi postaci

 

– macierz tę można otrzymać mnożąc eksponenty macierzy generatorów     oraz   tj.

 

Uwaga: Ważna jest tu kolejność mnożenia eksponentów   gdyż przedstawiają one macierze, których iloczyn na ogół nie jest przemienny.

Algebra translacji w przestrzeni trójwymiarowejEdytuj

Grupa translacji w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory   które pozwalają generować translacje odpowiednio w kierunku osi     i   Generatory te tworzą algebrę Liego o komutatorach:

 

Jest to więc algebra przemienna.

Algebra so(3) grupy obrotówEdytuj

(1) Grupa obrotów   w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory       które pozwalają generować obroty odpowiednio wokół osi     i   tj.

 

Generatory te tworzą bazę algebry Liego  

Komutatory generatorów mają wartości

 
 
 

tj.

 

Wynika stąd, że stałe struktury algebry   określone są przez symbol Leviego-Civity

 

(2) Dowolny element grupy obrotów   można otrzymać za pomocą eksponenty:

 

gdzie   – parametry obrotu.

Algebra  Edytuj

(1) Algebra   to 3-wymiarowa algebra, reprezentowana za pomocą bezśladowych macierzy hermitowskich.

(2) Jej bazę dla reprezentacji wyrażonej przez macierze wymiaru   stanowią np.

     

(są to macierze Pauliego dzielone przez 2).

(3) Związki komutacyjne pomiędzy generatorami

 

określają stałe struktury algebry  

 

(4) Algebra ta generuje grupę Liego SU(2) specjalnych macierzy unitarnych. Przy czym macierze unitarne grupy   wymiaru   można otrzymuje się za pomocą eksponenty:

 

gdzie:

  •   – parametry
  •   – generatory, macierze wymiaru   tworzące bazę algebry su(2); jedną z reprezentacji tworzą macierze proporcjonalne do macierzy operatora spinu o liczbie s, takiej że 2s+1=n.

(5) Widać, że stałe struktury algebry su(2) są identyczne jak dla algebry so(3) grupy obrotów w przestrzeni 3-wymiarowej. Algebra su(2) stanowi więc tzw. algebrę nakrywającą grupy obrotów, przy czym każdej macierzy obrotu odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwie macierze generowane przez su(2).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
  • J. Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w fizyce współczesnej, PWN, Warszawa 1967.
  • Jean-Pierre Serre, Lie Algebras and Lie Groups, 2nd edition, Springer, 2006, ​ISBN 3-540-55008-9​.