Algebra nad ciałem

przestrzeń liniowa będąca zarazem pierścieniem

Algebra nad ciałem (algebra liniowa) – przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień[1] (niekoniecznie łączny).

Definicja algebry

edytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe   mnożenia wektorów, które dla dowolnych   oraz   spełnia warunki

  • lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,
     
     
  • zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,
     

to   z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem   bądź  -algebrą.

Baza i wymiar algebry. Podalgebra. Ideał

edytuj

Bazą algebry   nazywa się bazę przestrzeni liniowej  

Wymiarem algebry   jest wymiar przestrzeni  

Podalgebrą algebry   nazywa się jej podprzestrzeń liniową   która jest zarazem podpierścieniem pierścienia   tzn. jeżeli   to   oraz  

Ideałem lewostronnym (lub ideałem prawostronnym) algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową   która jest lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) ideałem pierścienia   a więc jeżeli   oraz   to   (odpowiednio  ).

Szczególne rodzaje algebr

edytuj

Algebra łączna

edytuj

– algebra, w której mnożenie wektorów jest łączne.

Powstały pierścień jest łączny (jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków).

Algebra przemienna

edytuj

– algebra, w której mnożenie wektorów jest przemienne.

Algebra przemienna tworzy wtedy pierścień przemienny, a warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne.

Algebra z jedynką

edytuj

– zwana też algebrą unitarną, nieściśle: algebrą z jednością – algebra, w której działanie ma element neutralny różny od elementu zerowego  

Oznacza to, że pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny.

Algebra z dzieleniem

edytuj

– algebra z jedynką, w której każdy niezerowy element jest odwracalny.

Oznacza to, że pierścień jest z dzieleniem.

Tw. Algebra łączna i przemienna z dzieleniem tworzy ciało.

Homomorfizm algebr

edytuj

Ponieważ algebra jest jednocześnie przestrzenią liniową i pierścieniem to homomorfizmem algebr nazywamy funkcję która jest jednocześnie homomorfizmem przestrzeni liniowych i homomorfizmem pierścieni[2]. Tzn. homomorfizmem algebr   nad tym samym ciałem   nazywamy funkcję   która spełnia

 
 
 

Przykłady algebr

edytuj
  • Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
  • Algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem) – to algebra nieprzemienna.
  • Każde rozszerzenie ciała   może być traktowane jako  -algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z   przez elementy z   zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia   do  
  • Algebra macierzy: zbiór macierzy kwadratowych stopnia   nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, z dodawaniem i mnożeniem macierzy przez siebie oraz mnożeniem macierzy przez skalar; jest to algebra nieprzemienna o wymiarze  
  • Algebra endomorfizmów: zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe)   wymiaru większego niż   z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną.
  • Pierścień wielomianów   oraz ciało wyrażeń wymiernych   (bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.
  • Algebra Liego – algebra, w której mnożenie wektorów jest dwuliniowe, antysymetryczne i spełnia tożsamość Jacobiego. Mnożenie to nazywa się nawiasem Liego.
  • Algebra Leibniza – algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza. Algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne. Każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego / Leibniza, jeżeli zdefiniuje się działanie mnożenia jako komutator / antykomutator.
  • Funkcje schodkowe[potrzebny przypis];
  • Algebra zerowa, w której iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0, jest algebrą łączną i przemienną, ale nie unitarną. Może być rozszerzona do algebry z jedynką poprzez wzięcie sumy prostej jej i ciała, czego przykładem są liczby dualne.
  • Algebra grupowa, zdefiniowana dla dowolnej grupy skończonej   jako zbiór wszystkich wyrażeń formalnych postaci   gdzie współczynniki są elementami ciała. Działania dodawania i mnożenia przez skalary są określone tak jak w przestrzeniach wektorowych. Mnożenie jest zdefiniowane jako mnożenie wyrażeń algebraicznych, gdzie mnożeniu elementów   odpowiada działanie grupowe.
  • Algebra incydencji, zdefiniowana dla dowolnego lokalnie skończonego częściowego porządku   jako zbiór funkcji na parach   elementów   równych 0 dla wszystkich par niespełniających   Dodawanie i mnożenie przez skalarzdefiniowane punktowo; mnożenie za pomocą splotu   Dla porządku lokalnie skończonego taka suma ma skończenie wiele składników.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Algebra, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-24].
  2. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk.