Algebra różniczkowa

Pierścień różniczkowy, ciało różniczkowe i algebra różniczkowa – odpowiednio: pierścień, ciało i algebra wyposażone w różniczkowanie, czyli funkcję jednoargumentową spełniającą prawo iloczynu Leibniza. Naturalnym przykładem ciała różniczkowego jest ciało funkcji wymiernych nad liczbami zespolonymi jednej zmiennej, gdzie różniczkowaniem jest różniczka względem

Pierścień różniczkowyEdytuj

Pierścień różniczkowy to pierścień   wyposażony w co najmniej jedno różniczkowanie

 

z których każde spełnia prawo Leibniza

 

dla dowolnych   Należy pamiętać, że pierścień nie musi być przemienny, a więc w pewnym stopniu standardowa forma wzoru na iloczyn w kontekście przemiennym,   może być fałszywa. Jeżeli   jest mnożeniem w pierścieniu, to prawo iloczynu jest tożsamością

 

gdzie   oznacza funkcję odwzorowującą parę   na parę  

Ciało różniczkoweEdytuj

Ciało różniczkowe to ciało   z różniczkowaniem. Teoria ciał różniczkowych, DF (od ang. differential field), jest zasadzona na zwykłych aksjomatach ciała poszerzonych o dwa dodatkowe określające różniczkowanie. Tak jak wyżej, różniczkowanie musi spełniać prawo iloczynu Leibniza dla elementów z ciała, tzn. dla dowolnych dwóch elementów   z ciała jest

 

ponieważ mnożenie w ciele jest przemienne. Różniczkowanie musi być również rozdzielne względem dodawania w ciele:

 

Jeżeli   jest ciałem różniczkowym, to ciało stałych dane jest jako  

Algebra różniczkowaEdytuj

Algebra różniczkowa nad ciałem   to  -algebra   gdzie różniczkowania komutują (są przemienne) z działaniami ciała, tzn. dla każdego   oraz   zachodzi

 

W zapisie bezwskaźnikowym, jeżeli   jest homomorfizmem pierścieni określającym mnożenie skalarne w algebrze, to zachodzi

 

Jak wyżej, różniczkowanie musi zachowywać prawo Leibniza względem mnożenia w algebrze i musi być liniowe względem dodawania, a więc dla każdego   oraz   jest

 

oraz

 

Różniczkowanie w algebrze LiegoEdytuj

Różniczkowanie w algebrze Liego   jest odwzorowaniem liniowym   spełniającym prawo Leibniza:

 

Dla dowolnego   wyrażenie   jest różniczkowaniem na   które spełnia tożsamość Jacobiego. Każde takie różniczkowanie nazywane jest różniczkowaniem wewnętrznym.

PrzykładyEdytuj

Jeżeli   ma jedynkę, to   ponieważ   Przykładowo w ciele różniczkowym charakterystyki zero liczby wymierne zawsze są podciałem ciała stałych.

Każde czyste ciało może być interpretowane jako ciało różniczkowe stałych.

Ciało   ma unikatową strukturę jako ciało różniczkowe, które jest określone przez równość   aksjomaty ciała wraz z aksjomatami różniczkowania sprawiają, że różniczkowanie jest różniczką względem   Na przykład na mocy przemienności mnożenia i prawa Leibniza zachodzi  

W ciele różniczkowym   nie ma rozwiązania równania różniczkowego

 

ale znajduje się ono w większym ciele różniczkowym zawierającym funkcję   Ciało różniczkowe z rozwiązaniami wszystkich układów równań różniczkowych nazywane jest ciałem różniczkowo domkniętym. Takie ciała istnieją, ale nie mają własności naturalnych obiektów algebraicznych czy geometrycznych. Wszystkie ciała różniczkowe (o ograniczonej kardynalności) zawierają się w większym ciele różniczkowo domkniętym. Ciała różniczkowe są przedmiotem badań w różniczkowej teorii Galois.

Powszechnie występującymi przykładami różniczkowań są pochodna cząstkowa, pochodna Liego, pochodna Pincherlego i komutator względem elementu algebry. Wszystkie te przykłady są ściśle ze sobą powiązane wspólnym pojęciem różniczkowania.

Pierścień operatorów pseudoróżniczkowalnychEdytuj

Pierścienie różniczkowe i algebry różniczkowe są często badane za pomocą pierścienia operatorów pseudoróżniczkowym na nich określonych.

Niech dany będzie pierścień

 

Mnożenie w tym pierścieniu określone jest wzorem

 

gdzie   oznacza symbol Newtona. Warta wspomnienia tożsamość

 

wynika z innych tożsamości:

 

oraz

 

Różniczkowania z gradacjąEdytuj

Jeżeli dana jest algebra z gradacją   a   jest jednorodnym przekształceniem liniowym o gradacji   w   wtedy   jest różniczkowaniem jednorodnym, jeżeli     działa na elementach jednorodnych  

Różniczkowanie z gradacją jest sumą różniczkowań jednorodnych o tym samym  

Jeżeli współczynnik komutujący   to definicja ta redukuje się do zwykłego przypadku.

Jeżeli jednakże   to jest   dla parzystych   Nazywa się je wtedy antyróżniczkowaniami.

Przykładami antyróżniczkowań są pochodna zewnętrzna i produkt wewnętrzny (ang. interior product, nie mylić z iloczynem wewnętrznym, ang. inner product) działający na formach różniczkowych.

Różniczkowania z gradacją superalgebr (np. algebry z gradacją  ) są często nazywane superróżniczkowaniami.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
  • I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
  • E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
  • D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer i A. Pillay, Springer Verlag (1996).
  • A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

Linki zewnętrzneEdytuj