Algebra uniwersalna [1] matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych , nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną [2] teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych . Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną[3] A wyposażonego w pewien zbiór
Ω
{\displaystyle \Omega }
operacji n -arnych nazywany sygnaturą . Każda struktura algebraiczna (grupoid , półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.
Niech
D
=
⋃
⋅
i
=
0
n
D
i
{\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}
D
{\displaystyle D}
symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym
d
k
∈
D
k
{\displaystyle d_{k}\in D_{k}}
k
{\displaystyle k}
Algebrą nazwiemy zbiór
A
{\displaystyle A}
d
k
∈
D
k
{\displaystyle d_{k}\in D_{k}}
k
{\displaystyle k}
ϕ
k
:
A
k
→
A
.
{\displaystyle \phi _{k}\colon A^{k}\to A.}
d
k
{\displaystyle d_{k}}
ϕ
k
.
{\displaystyle \phi _{k}.}
Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę
F
=
(
F
,
μ
)
,
{\displaystyle {\mathcal {F}}=(F,\mu ),}
F
{\displaystyle F}
μ
:
F
→
N
{\displaystyle \mu \colon F\to \mathbb {N} }
typem algebry . Parę
A
=
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,F_{A})}
algebrą typu
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
jeśli zbiory
F
A
{\displaystyle F_{A}}
F
{\displaystyle F}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
f
A
∈
F
A
{\displaystyle f_{A}\in F_{A}}
f
A
:
A
μ
(
f
)
→
A
.
{\displaystyle f_{A}\colon A^{\mu (f)}\to A.}
f
A
{\displaystyle f_{A}}
działaniem lub operacją
μ
(
f
)
{\displaystyle \mu (f)}
Algebrę
G
{\displaystyle G}
D
0
=
∅
,
D
1
=
∅
,
D
2
=
{
∘
}
,
{\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset ,\ D_{2}=\{\circ \},}
∘
{\displaystyle \circ }
łączne , tzn. dla każdych
a
,
b
,
c
∈
G
{\displaystyle a,b,c\in G}
(
a
∘
b
)
∘
c
=
a
∘
(
b
∘
c
)
{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}
nazywa się półgrupą
Algebrę
G
{\displaystyle G}
D
0
=
{
e
}
,
D
1
=
{
−
1
}
,
D
2
=
{
∘
}
,
{\displaystyle D_{0}=\{e\},\ D_{1}=\{^{-1}\},\ D_{2}=\{\circ \},}
∘
{\displaystyle \circ }
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
a
∘
e
=
a
,
{\displaystyle a\circ e=a,}
a
∘
a
−
1
=
e
{\displaystyle a\circ a^{-1}=e}
nazywa się grupą
Krata to algebra
A
{\displaystyle A}
D
0
=
∅
,
D
1
=
∅
D
2
=
{
∨
,
∧
}
,
{\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset \ D_{2}=\{\lor ,\land \},}
x
,
y
,
z
∈
A
{\displaystyle x,y,z\in A}
1.
x
∧
x
=
x
{\displaystyle x\land x=x}
x
∨
x
=
x
{\displaystyle x\lor x=x}
2.
(
x
∧
y
)
∧
z
=
x
∧
(
y
∧
z
)
{\displaystyle (x\land y)\land z=x\land (y\land z)}
(
x
∨
y
)
∨
z
=
x
∨
(
y
∨
z
)
{\displaystyle (x\lor y)\lor z=x\lor (y\lor z)}
3.
x
∧
y
=
y
∧
x
{\displaystyle x\land y=y\land x}
x
∨
y
=
y
∨
x
{\displaystyle x\lor y=y\lor x}
4.
(
x
∧
y
)
∨
y
=
y
{\displaystyle (x\land y)\lor y=y}
(
x
∨
y
)
∧
y
=
y
{\displaystyle (x\lor y)\land y=y}
Relację równoważności
≡
{\displaystyle \equiv }
A
{\displaystyle A}
kongruencją jeśli dla każdego
d
k
∈
D
k
{\displaystyle d_{k}\in D_{k}}
x
1
,
…
,
x
k
,
y
1
,
…
,
y
k
∈
A
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\in A}
x
1
≡
y
1
∧
x
2
≡
y
2
∧
…
∧
x
k
≡
y
k
⇒
d
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
≡
d
k
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
k
)
.
{\displaystyle x_{1}\equiv y_{1}\wedge x_{2}\equiv y_{2}\wedge \ldots \wedge x_{k}\equiv y_{k}\Rightarrow d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\equiv d_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k}).}
Mając kongruencję
≡
{\displaystyle \equiv }
A
{\displaystyle A}
A
.
{\displaystyle A.}
A
/
≡
{\displaystyle A/_{\equiv }}
zbiorem ilorazowym . Definiujemy
B
:=
A
/
≡
{\displaystyle B:=A/_{\equiv }}
ϕ
≡
:
B
k
→
B
{\displaystyle \phi _{\equiv }\colon B^{k}\to B}
ϕ
≡
(
[
x
1
]
,
[
x
2
]
,
…
,
[
x
k
]
)
:=
[
ϕ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
]
{\displaystyle \phi _{\equiv }([x_{1}],[x_{2}],\dots ,[x_{k}]):=[\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})]}
dla
k
{\displaystyle k}
ϕ
.
{\displaystyle \phi .}
B
{\displaystyle B}
algebrą ilorazową . Działania
ϕ
≡
{\displaystyle \phi _{\equiv }}
x
1
,
…
,
x
k
.
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}.}
Homomorfizmem algebr
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
D
=
⋃
⋅
i
=
0
n
D
i
{\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}
ϕ
:
A
→
B
{\displaystyle \phi \colon A\to B}
d
k
∈
D
k
{\displaystyle d_{k}\in D_{k}}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
∈
A
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\in A}
ϕ
(
d
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
)
=
d
k
(
ϕ
(
x
1
)
,
ϕ
(
x
2
)
,
…
,
ϕ
(
x
k
)
)
.
{\displaystyle \phi (d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}))=d_{k}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}),\dots ,\phi (x_{k})).}
↑ Stanley N. Burris, H.P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra ISBN 3-540-90578-2 . Brak numerów stron w książce ↑ А. Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года . Wyd. 1. Наука, 1974, s. 5–10. ↑ Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры . Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31–32.
Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. ISBN 3-540-90578-2 . (monografia dostępna w sieci)
А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года . Wyd. 1. Наука, 1974. Brak numerów stron w książce Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры . Wyd. 1. Наука, 1983. Brak numerów stron w książce 
![{\displaystyle \phi _{\equiv }([x_{1}],[x_{2}],\dots ,[x_{k}]):=[\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2792a8e2b1c484dc000e0371b175488717ee7ef5)
