Algebra wolna
typ struktury algebraicznej uogólniający wielomiany
Algebra wolna – uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.
Definicja edytuj
Niech będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech Podzbiór nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry w klasie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm że
Jeśli dla danej algebry istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie to nazywamy ją algebrą wolną w klasie
Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.
Własności edytuj
- Jeśli jest klasą algebr, a jest zbiorem wolnych generatorów algebry w klasie to generuje algebrę tzn. jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór
- Jeśli jest klasą algebr, zbiorami wolnych generatorów algebr w klasie to każde przekształcenie można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu Homomorfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
- Jeśli są algebrami wolnymi w oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.
Przykłady edytuj
- Przykładem algebry wolnej jest grupa wolna. Każda podgrupa grupy wolnej jest grupą wolną.
- Baza przestrzeni liniowej jest zbiorem wolnych generatorów (twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie) – innymi słowy, przestrzenie liniowe są modułami wolnymi nad ciałami.
Bibliografia edytuj
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.