Algebra wolna

typ struktury algebraicznej uogólniający wielomiany

Algebra wolna – uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.

Definicja edytuj

Niech   będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech   Podzbiór   nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry   w klasie   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia   istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm   że

 

Jeśli dla danej algebry   istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie   to nazywamy ją algebrą wolną w klasie  

Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.

Własności edytuj

  • Jeśli   jest klasą algebr, a   jest zbiorem wolnych generatorów algebry   w klasie   to   generuje algebrę   tzn.   jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór  
  • Jeśli   jest klasą algebr,   zbiorami wolnych generatorów algebr   w klasie   to każde przekształcenie   można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu   Homomorfizm   jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy   jest bijekcją.
  • Jeśli   są algebrami wolnymi w   oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.

Przykłady edytuj

Bibliografia edytuj