Algorytm Rungego-Kutty

Algorytm Rungego-Kutty (metoda Rungego-Kutty) – metoda numeryczna do iteracyjnego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana głównie w symulacjach fizycznych. Opracowana około 1900 przez niemieckich matematyków: Carla Rungego oraz Martina Kuttę.

Algorytm Rungego-Kutty
Metoda Rungego-Kutty
Rodzaj Metoda numeryczna do iteracyjnego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Obecnie nazwą metody Rungego-Kutty określa się rodzinę jawnych i niejawnych metod wielokrokowych, jak również pewne ich modyfikacje. Potocznie metodą Rungego-Kutty, określa się metodę Runge-Kutty 4. rzędu ze współczynnikami podanymi poniżej. Istnieje wiele metod RK, o wielu stopniach, wielu krokach, różnych rzędach, i różniących się między sobą innymi własnościami (jak stabilność, jawność, niejawność, metody osadzone, szybkość działania itp.). Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu jest powszechnie stosowana ze względu na prostotę implementacji, relatywnie proste wzory, dużą szybkość oraz wysoki rząd metody.[potrzebny przypis]

Metoda RK 4. rzęduEdytuj

Mamy równanie postaci:   Znamy początkową wartość y:   i chcemy poznać kolejne wartości y.

Przyjmując dowolne h, będące wielkością kroku całkowania, iteracyjny wzór na y według metody Rungego-Kutty 4. rzędu to:

 
 

gdzie:

 
 
 
 

Jak widać, wartość (yn+1) zależy od wartości (yn) i h.

W ten sposób otrzymujemy, podobnie jak w innych iteracyjnych metodach rozwiązywania równań różniczkowych kolejne punkty, które przybliżają rozwiązanie.

Metoda RK 2. rzęduEdytuj

Istnieje cała klasa metod RK 2. rzędu, z czego z nazwy wyróżnia się przynajmniej dwie metody.

Jawna metoda RK 2, znana jako metoda punktu pośredniego (ang. midpoint method)

 

Oznaczenia takie same.

Metoda Eulera, czyli metoda RK 1. rzęduEdytuj

Metoda Eulera jest szczególnym przypadkiem metod Runge-Kutty (metoda Eulera pojawiła się historycznie najpierw, w związku z tym zachowano tradycyjną nazwę):

 

Oznaczenia takie same jak poprzednio.

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj