Analiza zespolona

dział analizy matematycznej badający funkcje zespolone

Analiza zespolona – dział analizy matematycznej badający funkcje zmiennej zespolonej.

Koncentryczne zmniejszające się pasy otaczają miejsca zerowe, z których wyprowadzony jest kolorowy wiatraczek.
Wykres funkcji w biegunowym układzie współrzędnych. Argument jest reprezentowany poprzez odcień, a moduł za pomocą jasności i nasycenia.

Od czasu swojej genezy – datowanej najpóźniej na XIX wiek – znalazła zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, teorii przestrzeni Hilberta i matematyce stosowanej, np. w pewnych dziedzinach fizyki matematycznej.

Podstawowe pojęcia

edytuj

W analizie zespolonej kluczową rolę odgrywają:

Dla funkcji zespolonych, podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, definiuje się pojęcia granicy funkcji, ciągłości, ciągłości jednostajnej i różniczkowalności.

Zdarza się jednak, że wprowadzenie analogicznej definicji pewnego pojęcia dla funkcji zespolonych, jak dla rzeczywistych, niesie ze sobą daleko idące konsekwencje. Na przykład: jeśli   jest obszarem oraz funkcja   ma w tym obszarze ciągłą pochodną (jest klasy  ), to ma w tym obszarze wszystkie pochodne (jest klasy  ). Dla funkcji zespolonych łatwiej podać, niż w przypadku funkcji rzeczywistych (piła Weierstrassa), przykład funkcji wszędzie ciągłej i nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie: funkcja sprzężenia   jest ciągła w każdym punkcie   i nieróżniczkowalna w żadnym z nich.

Ważnymi pojęciami analizy zespolonej są także:

Twierdzenia

edytuj
Z tym tematem związana jest kategoria: Twierdzenia – analiza zespolona.

Rozwój

edytuj
Z tym tematem związana jest kategoria: Analiza zespolona – naukowcy.

Formalnie funkcjami zmiennych zespolonych są działania arytmetyczne na nich, rozważane od czasu pojawienia się tej koncepcji w XVI wieku. Przez to na dziedzinę zespoloną można uogólnić wielomiany, funkcje wymierne, pierwiastki stopnia wymiernego, inne pierwiastniki oraz pozostałe funkcje algebraiczne. Za pomocą szeregów Taylora można tak uogólnić też część innych, przestępnych funkcji elementarnych jak te wykładnicze, hiperboliczne, logarytmy, funkcje trygonometryczne czy kołowe. Rozważano to najpóźniej w XVIII wieku – robił to Leonard Euler, otrzymując zależności istotne także dla innych dziedzin matematyki. W następnym stuleciu podstawy systematycznej analizy zespolonej – oparte na rygorze – zbudowali Augustin Cauchy, Bernhard Riemann i Karl Weierstrass. W XXI wieku powstały nowe czasopisma naukowe poświęcone tej dziedzinie[1], a na niektórych uczelniach ma ona osobne katedry[2].

Przypisy

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj