Antyłańcuch

Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.

Antyłańcuchy w teorii porządków częściowychEdytuj

DefinicjaEdytuj

Przy określonym porządku   zbiór   nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.

Przykłady i własnościEdytuj

  • Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem).
  • Porządek częściowy   jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy.
  • Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek   nie zawiera   elementowych antyłańcuchów   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest sumą   łańcuchów.
  • Twierdzenie Spernera mówi że jeśli   jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego   elementowego zbioru   a porządek   jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w   ma co najwyżej   elementów.

Antyłańcuchy w teorii forsinguEdytuj

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie pojęciem forsingu. Zbiór   jest antyłańcuchem w   wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne warunki   są sprzeczne, tzn.

 

Należy zwrócić uwagę że pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.

 -ccEdytuj

Niech   będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu   spełnia  -cc jeśli każdy antyłańcuch w   jest mocy mniejszej niż   Jeśli   spełnia  -cc to mówimy wtedy też że   spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo   spełnia ccc.

Nazwa  -cc jest skrótem angielskiego wyrażenia  -chain condition (warunek  -łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że najmniejsza liczba kardynalna   dla której pojęcie forsingu   spełnia warunek  -cc musi być regularna.

Przykłady i własnościEdytuj

  • Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc.
  • Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów   miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc.
  • Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów   uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum.
  • Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających  -cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe  

Antyłańcuchy w algebrach Boole’aEdytuj

DefinicjaEdytuj

Ponieważ algebry Boole’a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole’a. Niech   będzie algebrą Boole’a. Zbiór   jest antyłańcuchem w   wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy   są rozłączne, tzn.

 

CelularnośćEdytuj

Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole’a. Celularność   algebry Boole’a   jest to supremum mocy antyłańcuchów w  

Mówimy że algebra Boole’a   spełnia ccc jeśli  

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że jeśli celularność   algebry Boole’a   jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch   mocy  

Zobacz teżEdytuj