Aproksymacja wielomianowa

Przykładowe wielomiany różnych stopni

Aproksymacja wielomianowa – metoda aproksymacji polegająca na przybliżeniu funkcji za pomocą wielomianu.

Sformułowanie problemuEdytuj

Wiemy, że dla pewnego zbioru punków   funkcja przyjmuje wartości  . Naszym celem jest znalezienie wielomianu w postaci:[1]

 

 

takiego, aby przybliżenie funkcji w punktach   było jak najlepsze. Funkcję oceny jakości wielomianu można zdefiniować w różny sposób, często stosowane kryteria to:[2]

  • Maksymalna różnica ( ) powinna być jak najmniejsza (aproksymacja jednostajna).
  • Suma wartości bezwzględnych różnic powinna być jak najmniejsza.
  • Suma kwadratów różnic powinna być jak najmniejsza (aproksymacja średniokwadratowa).

Aproksymacja wielomianowa średniokwadratowaEdytuj

W aproksymacji średniokwadratowej wielomianowej funkcja błędu jest zdefiniowana następująco:

 

Współczynnik   jest ustaloną funkcją wagową. Najczęściej przyjmuje się, że funkcja wagowa zawsze przyjmuje wartość 1 – wówczas możemy ten czynnik pominąć[3].

Funkcja ta osiąga minimum w punkcie, w którym pochodne cząstkowe względem współczynników   są równe zero. W celu znalezienia tego minimum należy rozwiązać zatem układ równań:[3]

 


Po przekształceniach układ ten można sprowadzić do postaci:[4]

 

Układ ten można rozwiązać stosując np. wzory Cramera lub metodę Gaussa-Seidla.

Stopień wielomianuEdytuj

Liczba współczynników wielomianu powinna być mniejsza od liczby punktów, które ma przybliżać funkcja ( ). Dla   zawsze jest możliwe wyznaczenie wielomianu przechodzącego dokładnie przez podane punkty – wówczas problem sprowadza się do interpolacji wielomianowej[4].

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj