Argument liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną $z$ na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: ${\mbox{arg}}(z).$

Argument główny liczby zespolonej

Ten diagram Arganda reprezentuje liczby zespolone leżące na płaszczyźnie. Dla każdego punktu na płaszczyźnie $\arg$ jest funkcją, która zwraca kąt φ.

Dwie opcje argumentu φ

Główną wartością $\arg$ niebieskiego punktu $1+i$ jest ${\frac {\pi }{4}}$

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność $2\pi .$ Argument sprowadzony do przedziału $[0,2\pi )$, lub $(-\pi ,\pi ]$, nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie:${\mbox{Arg}}(z).$

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

$a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi ),$

gdzie $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|$ jest modułem liczby zespolonej, a $\phi$ jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

$\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{gdy }}a>0\\\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi ,&{\mbox{gdy }}a<0\end{cases}}$

Dla liczb urojonych, $z=bi{:}$

$\varphi ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b>0\\-{\frac {1}{2}}\pi ,&{\mbox{gdy }}b<0\end{cases}}$

Dla liczby $z=0,$ argument jest nieokreślony.

Niech $a+bi=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ oraz niech $c+di=\rho (\cos \psi +i\sin \psi ),$ wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

• $(a+bi)\cdot (c+di)=r\cdot \rho (\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi ))$
• ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {r}{\rho }}(\cos(\phi -\psi )+i\sin(\phi -\psi ))$