Otwórz menu główne

Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć tutaj, zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce, zakłada się ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się w niej wyniki niezależnościowe.

Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych, choć można dostrzec między nimi pewne analogie.

DefinicjeEdytuj

Na liczbach porządkowych rozważa się następujące działania dwuargumentowe: dodawanie, mnożenie i potęgowanie liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik); poniżej przedstawiono oba podejścia.

Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjneEdytuj

Operacje „+” i „·” na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów dobrze uporządkowanych.

Przypuśćmy, że   oraz   są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory   i  rozłączne. Określamy:

  •   gdzie   jest relacją binarną na   zdefiniowaną przez
  wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz
  i   lub
  i   lub
  i  
  •   gdzie   jest relacją binarną na produkcie   zdefiniowaną przez
  wtedy i tylko wtedy, gdy (   ) oraz
  lub
  i  

Można wykazać, że zarówno   jak i   są dobrymi porządkami.

 
Liczba porządkowa   każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej   – kreski te odpowiadają liczbom postaci   gdzie   i   są liczbami naturalnymi.

Dla liczb porządkowych   określamy

  • sumę   jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym   gdzie   są rozłącznymi kopiami   i   odpowiednio;
  • iloczyn   jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym   gdzie   są kopiami   i   odpowiednio.

Definicje indukcyjneEdytuj

  • Dodawanie: przez indukcję po liczbach porządkowych   dla każdej liczby porządkowej   definiujemy   w sposób następujący:
 
  jest następnikiem porządkowym liczby  
 
jeśli   jest liczbą graniczną, to
 
  • Mnożenie: przez indukcję po liczbach porządkowych   dla każdej liczby porządkowej   definiujemy   w sposób następujący:
 
 
jeśli   jest liczbą graniczną, to
 
  • Potęgowanie: przez indukcję po liczbach porządkowych   dla każdej liczby porządkowej   definiujemy   w sposób następujący:
 
 
jeśli   jest liczbą graniczną, to
 

Podstawowe własnościEdytuj

Pewne własności „zwykłych” działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych   prawdziwe są następujące równości:

  •   oraz  
  •     oraz  
  •  
  •   oraz  
  •   oraz  
  •   oraz  

PrzykładyEdytuj

Przypomnijmy, że   jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.

  • Ani dodawanie, ani mnożenie liczb porządkowych nie są przemienne, gdyż na przykład:
  oraz  
  • Prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania na ogół nie zachodzi:
  ale  
  •  
  •  
  •  

Więcej własnościEdytuj

  • Niech   będą liczbami porządkowymi,   Wówczas liczba   ma jednoznaczne przedstawienie postaci
  gdzie   są liczbami porządkowymi i  
  • Twierdzenie Cantora o postaci normalnej: Każda niezerowa liczba porządkowa   może być przedstawiona jednoznacznie w postaci
 
dla pewnych liczb naturalnych   oraz   oraz liczb porządkowych   spełniających warunek  
  • Liczby porządkowe α dla których zachodzi równość   były nazwane przez Cantora liczbami epsilonowymi; tworzą one klasę właściwą. Najmniejszą liczbą epsilonową jest
 
(a)   dla każdej liczby  
(b)   dla każdej liczby  
(c)   dla każdej liczby  

ZastosowaniaEdytuj

  • Dowód twierdzenia Goodsteina używa cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż  

Operacje naturalneEdytuj

W 1906 roku niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg[1] wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę i naturalny produkt. Czasami operacje te są nazywane sumą Hessenberga i produktem Hessenberga, odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy, traktując te rozwinięcia jak formalne wielomiany zmiennej  

Niech   i   będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne   oraz   oraz liczby porządkowe   takie, że

  oraz  

Określamy teraz sumę naturalną   przez

 

Definicja produktu naturalnego   jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia   i   jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych   rozważamy liczbę   (zwróćmy uwagę że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej). Produkt naturalny   jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci   uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.

Obie operacje,   i   są przemienne i łączne. Zauważmy, że

  ale   oraz
  ale  

Przykład zastosowaniaEdytuj

W roku 1954 G.H. Toulmin udowodnił[2], że jeżeli   i  przestrzeniami regularnymi, to

 

gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz   jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni   i   Gary Brookfield udowodnił[3], że jeżeli   jest pierścieniem noetherowskim, to

 

gdzie len jest liczbą porządkową mierzącą długość ideałową pierścienia   w pewnym sensie dokładniej niż wymiar Krulla (pojęcie to wprowadził Gulliksen[4]).

PrzypisyEdytuj

  1. Hessenberg G.: Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1906.
  2. Toulmin G.H., Shuffling ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc., 4 (1954), s. 177–195.
  3. Brookfield G., The Length of Noetherian Polynomial Rings. Communications in Algebra, 1532-4125, (31), Issue 11, 2003, s. 5591–5607. [1].
  4. Gulliksen T.H., A Theory of Length for Noetherian Modules, J. of Pure and Appl., Algebra 1973, 3, s. 159–170.

BibliografiaEdytuj

  • Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wydanie 2. Monografie Matematyczne, tom 34. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1965.