Arytmetyka odcinków (Kartezjusz)

Arytmetyka odcinków (w ujęciu Kartezjusza) – archaiczne pojęcie matematyczne geometrii i algebry, polegające na odkrywaniu i dowodzeniu własności algebraicznych (jak np. własności dodawania, mnożenia, pierwiastkowania liczb, poszukiwanie pierwiastków równań algebraicznych) poprzez konstrukcje geometryczne, głównie za pomocą odcinków (zwanych w tej koncepcji wielkościami).

Stworzony przez arytmetykę odcinków pomost pomiędzy geometrią i algebrą obrazuje następujący cytat Kartezjusza:

Często jednak nie jest konieczne rysowanie tych linii na papierze i wystarczy tylko oznaczyć każdą z nich odrębną literą. I tak, aby dodać linie $BD$ i $GH,$ nazywam jedną $a,$ drugą $b,$ i piszę $a+b.$ Następnie $a-b$ będzie oznaczało, że od $a$ odjęto $b;$ $ab,$ że $a$ jest pomnożona przez $b;$ ${\frac {a}{b}},$ że $a$ jest podzielona przez $b;$ $aa$ lub $a^{2},$ że $a$ pomnożono przez siebie; $a^{3},$ że poprzedni wynik jest pomnożony przez $a,$ i tak dalej w nieskończoność. Podobnie, gdy chcę wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z $a^{2}+b^{2},$ piszę ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}};$ gdy chcę wyciągnąć pierwiastek sześcienny z $a^{3}-b^{3}+abb,$ piszę ${\sqrt {C.a^{3}-b^{3}+abb}}$ i podobnie z innymi pierwiastkami.

Arytmetyka odcinków w Geometrii

Pierwsza strona Geometrii, stanowiąca wstęp do arytmetyki odcinków

Swoją arytmetykę odcinków zdefiniował Kartezjusz w Geometrii (1637), w księdze pierwszej (O problemach, w których linie proste i okręgi wystarczą do przeprowadzenia konstrukcji). Sama struktura dzieła (tytuły początkowych paragrafów Księgi Pierwszej Geometrii) świadczy o tematyce, jaka jest w tej księdze poruszana:

• Jak rachunek arytmetyczny odnosi się do działań geometrycznych,
• Mnożenie ,
• Dzielenie,
• Wyciąganie pierwiastka,
• Jak używać znaków w geometrii.

Wszystkie problemy geometrii da się łatwo sprowadzić do takich wyrażeń, że wystarczy znać długości pewnych linii prostych, aby przeprowadzić ich konstrukcje

(pierwsze zdanie „Geometrii”)

Związek arytmetyki odcinków Kartezjusza z arytmetyką odcinków Euklidesa

W arytmetyce odcinków Kartezjusza widać wyraźne wpływy antycznej arytmetyki odcinków, ale także nowe myśli (dużo bliższe współczesnej matematyce). O związkach z teorią proporcji Euklidesa świadczą takie sformułowania, jak np.: znaleźć średnią proporcjonalną albo znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z tych danych, tak jak druga jest do jedności. Nowymi pojęciami jest odcinek jednostkowy i działania na odcinkach (mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie). Nowością są także stosowane przez Kartezjusza oznaczenia i notacje.

Kolejną rewolucyjną kwestią odróżniającą arytmetykę odcinków Kartezjusza od antycznych konstrukcji Euklidesa jest to, iż Kartezjusz stara się sprowadzać wszystkie wielkości do odcinków – dla Euklidesa $ab$ oznaczało prostokąt o bokach $a$ i $b,$ a dla Kartezjusza $ab$ jest odcinkiem o długości $a\cdot b$.

Odcinek jednostkowy

(...) mając jedną [linię], którą nazwę jednością, aby upodobnić ją jak to tylko możliwe do liczb i która w zasadzie może być dowolnie wybrana (...)

Kartezjusz wskazuje na odcinek jednostkowy $1$ jako taki, dla którego $a\cdot 1=a={\frac {a}{1}}$. Nie podaje osobno tego faktu, lecz od razu używa tej własności przy opisywaniu pierwiastkowania odcinków:

gdy trzeba będzie wyciągnąć pierwiastek sześcienny z $aabb-b,$ należy przyjąć, że wielkość $aabb$ jest podzielona raz przez jedność, a wielkość $b$ jest pomnożona dwa razy przez jedność.

Działania w arytmetyce odcinków (oryginalne słowa Kartezjusza)

I nie zawaham się wprowadzić do geometrii tych wyrażeń arytmetycznych w celu osiągnięcia większej jasności.

Mnożenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest mnożenie odcinków, w następujący sposób:

(...) mając jedną, którą nazwę jednością (...), a następnie mając dwie inne, znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z tych danych, tak jak druga jest do jedności, co jest tym samym co mnożenie (...)

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:

Dla przykładu, niech AB będzie jednością i niech zadanie polega na pomnożeniu BD przez BC. Muszę tylko połączyć punkty A i C, następnie poprowadzić DE, równoległą do CA; wówczas BE jest iloczynem BD oraz BC.

Dzielenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest dzielenie odcinków, w następujący sposób:

(...) mając jedną, którą nazwę jednością (...), a następnie mając dwie inne, (...) znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z nich, tak jak jedność jest do drugiej, co jest tym samym co dzielenie (...)

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:

(...) niech AB będzie jednością (...). Gdy należy podzielić BE przez BD, łączę punkty E i D, prowadzę AC, równoległą do DE, i BC jest wynikiem tego dzielenia.

Wyciąganie pierwiastka z odcinka

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest pierwiastkowanie odcinków, w następujący sposób:

(...) znaleźć jedną lub dwie, lub kilka średnich proporcjonalnych między jednością i jakąś inną linią, co jest tym samym co wyciąganie pierwiastka kwadratowego lub sześciennego z danej linii (...)

Pierwiastek kwadratowy z odcinka

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca pierwiastkowaniu odcinków, $GI={\sqrt {GH}}$

Następnie opisuje dokładną konstrukcję wyciągania pierwiastka kwadratowego z odcinka:

(...) gdy należy wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z GH, dodaję w linii prostej FG równą jedności, dzielę FH na dwie równe części w punkcie K, zakreślam okrąg FIH o środku w K, następnie z punktu G prowadzę linię prostą i przedłużam ją aż do I pod kątami prostymi do FH; szukanym pierwiastkiem jest GI.

Pierwiastki wyższych stopni

Kartezjusz przedstawia konstrukcje nieklasyczne pierwiastków wyższych stopni, pisząc:

• o pierwiastkach trzeciego stopnia:

(...) wyciągnięcie pierwiastka sześciennego, czego zwykle nie da się zrobić bez użycia co najmniej jednego z przekrojów stożka.

• o pierwiastkach czwartego stopnia:

(...) równanie wzrosło tylko do kwadratu kwadratu; można je zawsze rozwiązać za pomocą przekrojów stożka (...)

• o pierwiastkach szóstego stopnia:

(...) równanie wzrosło tylko do kwadratu sześcianu, w wyniku czego można je rozwiązać za pomocą jednej linii, która jest tylko o jeden stopnień bardziej złożona od przekrojów stożka (...)

Współczesne wyjaśnienie arytmetyki odcinków Kartezjusza

W arytmetyce odcinków zdefiniowanej w Geometrii występuje kilka nieścisłości. Nie wiadomo, czy następujące związki arytmetyki z teorią proporcji:

• z proporcji $BE:BD::BC:1$ Kartezjusz wnioskuje: „wówczas $BE$ jest iloczynem $BD$ oraz $BC$”;
• z proporcji $BC:BE::1:BD$ Kartezjusz wnioskuje: „$BC$ jest wynikiem dzielenia $BE$ przez $BD$”
• z proporcji $1:GI::GI:GH$ Kartezjusz wnioskuje, że średnia proporcjonalna $GI$ jest pierwiastkiem z $GH$

są dla Kartezjusza definicjami, czy twierdzeniami.

Przyjmując, że te równości są definicjami, można współcześnie jasnym językiem przedstawić konstrukcje oparte na arytmetyce odcinków. W poniższych sekcjach stosowane zapisy matematyczne są częściowo uwspółcześnione, dla łatwiejszego zrozumienia przedstawianych konstrukcji i dowodów rozumowań. W dowodach będziemy stosować definicje arytmetyki odcinków oraz własności proporcji z Elementów Euklidesa.

Mnożenie

Iloczyn odcinków $a$ oraz $b$ konstruujemy w sposób następujący. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków $1$ i $b,$ a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka $a$.

Przyjmijmy następującą definicję mnożenia w arytmetyce odcinków:

$x=a\cdot b\Leftrightarrow _{def}a:1::x:b$.

Konstrukcja przedstawiona powyżej spełnia tę definicję mnożenia.

Definicja ta jest jednoznaczna.

Dowód.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają iloczyn odcinków $a$ i $b$ uzyskany w różnych konstrukcjach. Wtedy, z definicji, mamy:

$a:1::x:b,$

$a:1::y:b$.

Z tych dwóch proporcji wynika, że:

$x:b::y:b$.

V.9
Z Elementów Euklidesa znamy twierdzenie V.9 $a:c::b:c\Rightarrow a=b$.

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

$x=y$. q.e.d.

Element neutralny mnożenia

Wykażemy, że $a\cdot 1=a$. Posłużymy się do tego konstrukcją z rysunku powyżej.

Dowód.

Odcinek $a$ wyznaczony jest poprzez proporcję:

$a:1::(a\cdot 1):1$.

V.9
Z Elementów Euklidesa znamy twierdzenie V.9 $a:c::b:c\Rightarrow a=b$.

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

$a=a\cdot 1$. q.e.d.

Przemienność mnożenia

Wykażemy, że mnożenie odcinków jest przemienne.

Dowód.

Na podstawie definicji mnożenia odcinków mamy następujące dwie proporcje:

$ba:a::b:1,$

$a:1::ab:a$.

V.23
Z Elementów Euklidesa znamy twierdzenie V.23 $a:b::e:f\wedge b:c::d:e\Rightarrow a:c::d:f$.

Dzięki twierdzeniu V.23 z powyższych dwóch proporcji otrzymamy:

$ba:1::ab:1$.

V.9
Z Elementów Euklidesa znamy twierdzenie V.9 $a:c::b:c\Rightarrow a=b$.

Twierdzenie V.9 sprawia, że z powyższej proporcji otrzymujemy:

$ba=ab$. q.e.d.

Dzielenie

Iloraz odcinków $a$ oraz $b$ konstruujemy w sposób następujący. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków $a$ i $b,$ a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka $1$.

Przyjmijmy następującą definicję dzielenia w arytmetyce odcinków:

$x=a\cdot b\Leftrightarrow _{def}a:1::x:b$.

Przedstawiona powyżej konstrukcja spełnia tę definicję

Element odwrotny

Proporcja

$1:a::x:1$

wyznacza odcinek ${\frac {1}{a}}$. Powyższy rysunek przedstawia odpowiednią konstrukcję. Konstrukcja ta również pokazuje, że:

$a\cdot {\frac {1}{a}}=1$.

Dzielenie przez 1

Zauważając, że:

$a:1::a:1,$

otrzymujemy:

$a={\frac {1}{a}}$.

Proporcja

Arytmetykę odcinków Kartezjusza można powiązać z antyczną arytmetyką odcinków Euklidesa, zapisując proporcje Euklidesa, językiem Kartezjusza, co jest możliwe dzięki poniższym twierdzeniom.

Proporcja jako iloraz

proporcja ⇒ iloraz. Dowód algebraiczny.

Niech zachodzi proporcja:

$a:b::c:d$.

Na podstawie definicji dzielenia odcinków otrzymamy:

$a:b::{\frac {a}{b}}:1,$

$c:d::{\frac {c}{d}}:1$.

Z tych trzech proporcji wynika następujący fakt:

${\frac {a}{b}}:1::{\frac {c}{d}}:1$.

V.9
Z Elementów Euklidesa znamy twierdzenie V.9 $a:c::b:c\Rightarrow a=b$.

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$. q.e.d.

proporcja ⇒ iloraz. Dowód geometryczny.

Niech zachodzi proporcja:

$a:b::c:d$.

VI.2
Z Elementów Euklidesa znamy twierdzenie VI.2 Niech bowiem będzie poprowadzona DE, równoległa do BC, jednego z boków trójkąta ABC. Twierdzę, że jak BD jest do DA, tak CE do EA oraz jak BA jest do DA, tak CA do EA.

Na podstawie twierdzenia VI.2 wiemy, że proste przechodzące przez krańce odcinków $a,b$ oraz $c,d$ są równoległe. Konstrukcja ułamka wymaga poprowadzenia prostej równoległej, przechodzącej przez $1,$ ale ponieważ obie proste są równoległe, to oba ułamki wyznaczają ten sam punkt. Zatem:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$. q.e.d.

iloraz ⇒ proporcja. Dowód.

Niech ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$. Wtedy wszystkie odcinki łączące punkty (na rysunku powyżej) są równoległe. Stąd, na podstawie twierdzenia VI.2. otrzymujemy:

$a:b::c:d$. q.e.d.

Proporcja jako iloczyn

W podobny sposób można uzasadnić równoważność proporcji z odpowiednim iloczynem odcinków. W tym celu wystarczy zauważyć, że:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b$.

Potęgowanie

Kolejne potęgi odcinka $a$ można tworzyć na podstawie definicji mnożenia dwóch odcinków, przyjmując że oba są równe $a$. Innym sposobem konstrukcji kolejnych potęg jest użycie do tego celu mezolabium.

Pierwiastkowanie

Można przyjąć następujące definicje pierwiastkowania:

• $x={\sqrt {a}}\Leftrightarrow _{def}1:x::x:a$
• $x={\sqrt[{3}]{a}}\Leftrightarrow _{def}\exists _{y}\ (1:x::x:y\wedge x:y::y:a)$
• $x={\sqrt[{4}]{a}}\Leftrightarrow _{def}\exists _{y}\exists _{z}\ (1:x::x:y\wedge x:y::y:z\wedge y:z::z:a)$
• itp.

Pierwiastek kwadratowy można skonstruować sposobem ukazanym na pierwszym rysunku lub poprzez mezolabium. Dzięki mezolabium można skonstruować także ${\sqrt[{3}]{a}},$ ${\sqrt[{4}]{a}}$ oraz pierwiastki wyższych stopni.

Ciało odcinków

Arytmetyka odcinków Kartezjusza może stworzyć ciało uporządkowane.

Warstwa językowa i symboliczna arytmetyki odcinków Kartezjusza

Z symbolami takimi jak np. $a^{2},$ $b^{3},$ $ab$ Kartezjusz łączy tradycyjne nazewnictwo oraz nowe znaczenia.

Należy zaznaczyć, że przez $a^{2}$ lub $b^{3}$ i podobne wyrażenia rozumiem zwykle jedynie linie proste, jakkolwiek w celu posłużenia się nazwami używanymi w algebrze nazywam je kwadratami lub sześcianami itd.

Następnie deklaruje, że w odniesieniu do wyrażeń $a^{2}$ tudzież $b^{3}$ zachowa tradycyjne nazwy geometryczne (czyli kwadrat oraz sześcian), ale jednocześnie nada im zupełnie nowy sens – $a^{2}$ i $b^{3}$ są odcinkami utworzonymi na podstawie definicji iloczynu. Podobne dwuznaczności wiążą się z symbolem $ab$. Symbol ten był stosowany przez Kartezjusza i innych XVII-wiecznych algebraików, na przykład Johna Wallisa. Wszędzie, poza Geometrią, oznaczał on prostokąt o bokach $a,b$. W La Géometrie wyrażenie $ab$ również jest nazywane prostokątem, choć w rzeczywistości oznacza odcinek $a\cdot b$.

Bibliografia

• Kartezjusz: Geometria. Tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk i Kazimierz Mrówka. Kraków: TAiWPN Universitas, 2015. ISBN 978-83-242-2759-4.