Układ biortogonalny

(Przekierowano z Baza Auerbacha)

Układ biortogonalny – dla przestrzeni unormowanej indeksowany ciąg elementów postaci o tej własności, że (zob. symbol Kroneckera). Indeksowany ciąg punktów p. nazywany jest minimalnym, jeżeli istnieje ciąg punktów p. taki, że jest układem biortogonalnym. Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha dla każdej przestrzeni unormowanej można podać przykład układu biortogonalnego. Dokładniej, ciąg jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

Definicję układu biortogonalnego można mutatis mutandis rozszerzyć na klasę przestrzeni liniowo-topologicznych o nietrywialnych przestrzeniach sprzężonych.

Istnienie układów biortogonalnych

edytuj
  • W każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha   dla każdego   istnieje taki przeliczalny układ biortogonalny   że wektory   są liniowo gęste w   jeżeli   dla każdego   to   oraz
 
dla wszelkich  [1].

Bazy Markuszewicza

edytuj

Niech   będzie przestrzenią unormowaną. Układ biortogonalny   nazywany jest:

  • fundamentalnym, jeżeli
 
  • totalnym, jeżeli
  (gdzie   oznacza operację domknięcia w sensie *-słabej topologii),
  • bazą Markuszewicza (albo M-bazą) gdy jest fundamentalny i totalny,
  • układem Auerbacha, jeżeli   dla każdego  
  • bazą Auerbacha, jeżeli jest bazą Markuszewicza i układem Auerbacha.

Nazwa pojęcia bazy Markuszewicza pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka, Aleksieja Markuszewicza. Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma M-bazę. Problem istnienia M-baz dla przestrzeni Banacha typu WCG jest ciągle otwarty. Prawdziwe jest natomiast następujące twierdzenie Auerbacha, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń Banacha ma bazę Auerbacha.

Układy biortogonalne dużej mocy

edytuj

Kenneth Kunen podał jako pierwszy, pod założeniem hipotezy continuum, przykład przestrzeni Banacha, której wszystkie układy biortogonalne są przeliczalne (Kunen nie opublikował swojego wyniku – pojawił się on w monografii[2]). Kolejny przykład, pod założeniem diamentu Jensena, podał Saharon Szelach[3].

Przypisy

edytuj
  1. A. Pełczyński, All separable Banach space admit for every ε > 0 fundamental total and bounded by 1 + ε biorthogonal sequences, „Studia Mathematica55 (1976), s. 295–304.
  2. S. Negrepontis, Banach spaces and topology, w: K. Kunen (ed.), J.E. Vaughan (ed.), Handbook of set-theoretic topology, Elsevier Sci. (1984), s. 1045–1142.
  3. Saharon Szelach, Uncountable constructions for B.A., e.c. groups and Banach spaces, „Israel J. Math.”, 51 (1985), s. 273–297.

Bibliografia

edytuj
  • J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, ISBN 0-387-68914-1.