Otwórz menu główne

Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym o następujących własnościach:

  • dla każdego (tj. każdy element ma normę 1),
  • ortogonalność: dla różnych
  • domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

PrzykładyEdytuj

  • Zbiór   jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej  
  • Zbiór   jest bazą ortonormalną przestrzeni   wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
  • Zbiór   jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej   Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
  • Bazą ortonormalną przestrzeni   gdzie   jest dowolnym zbiorem, jest rodzina   gdzie:
 

Podstawowe wzoryEdytuj

Jeżeli   jest bazą ortonormalną przestrzeni   to dowolny wektor   tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

 

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora   można wyrazić za pomocą równości:

 

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy   jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta   z bazą   jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią   gdzie   jest dowolnym zbiorem równolicznym z  

Istnienie bazy ortonormalnejEdytuj

Jeżeli   jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta   to domknięcie powłoki liniowej zbioru   jest podprzestrzenią liniową   Zbiór   jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna, można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną[1]. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej[2].

OrtogonalizacjaEdytuj

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj