Otwórz menu główne
Każdy trójwymiarowy wektor a jest kombinacją liniową wektorów bazy standardowej i, j oraz k.

Spis treści

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

Powyższe wektory wskazują odpowiednio kierunki osi Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

gdzie skalary składowymi wektora

W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje różnych wektorów bazy standardowej

gdzie oznacza wektor z na -tej współrzędnej i wszędzie indziej.

WłasnościEdytuj

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

 
 

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

UogólnieniaEdytuj

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów   zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

 

gdzie   jest dowolnym zbiorem, a   to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli   i równy jedności, jeśli   Rodzina ta jest bazą kanoniczną  -modułu (modułu wolnego)   wszystkich rodzin   z   w pierścień   które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że   to   czyli jedność w  

InneEdytuj

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge’a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0-521-27635-7.
  • Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1-55860-594-0.