C*-algebra

C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu C*) – zespolona algebra Banacha z dodatkowym działaniem inwolucji ( jest więc *-algebrą), spełniającym warunek

(C*)

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych obserwabli w mechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgebrami algebry operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach 30. XX wieku.

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie przestrzenią Hilberta. Algebra   wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na   ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest norma operatorowa). Operacja sprzężenia operatora   jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra   jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
  • Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta   tworzą domknięty ideał w algebrze   (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę  ). Algebra   operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra   nie ma jedynki.
  • Niech   będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. W przestrzeni Banacha   złożonej z zespolonych funkcji ciągłych na   i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest norma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując   jako sprzężenie zespolone wartości   dla każdego punktu   przestrzeni   Przestrzeń   z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń   jest zwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na   w tym przypadku używa się zwykle symbolu   zamiast  ). Przestrzeń   (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń   jest izomorficzna z przestrzenią   gdzie \beta\omega oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Podobnie, przestrzeń c0 jest algebrą postaci   gdzie   jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
  • W przypadku gdy   jest C*-algebrą oraz   oznacza algebrę macierzy kwadratowych stopnia   to algebrę macierzy   o współczynnikach z algebry   można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. podjednorodna C*-algebra).

Elementy normalne, samosprzężone i rzutowaniaEdytuj

Pojęcia operatora normalnego, samosprzężonego, rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie   C*-algebry   mówi się, że jest

  • normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj.  
  • samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj.  
  • rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj.   oraz  

Klasyfikacja rzutówEdytuj

Istnieje naturalna relacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry   Dwa rzuty  równoważne w sensie Murraya-von Neumanna (ozn.  ), gdy istnieje taka częściowa izometria   że   i   Rzuty dzieli się na skończone i nieskończone. Rzut   w C*-algebrze   jest

  • nieskończony, gdy   dla pewnego właściwego rzutu   spełniającego  
  • skończony, gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty nieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty   dla których istnieją takie dwa rzuty   że   (wzajemna ortogonalność),   oraz  

Dla niezerowego rzutu   następujące warunki są równoważne:

  1.   jest nieskończony w sposób właściwy,
  2.  
  3. istnieją takie częściowe izometrie   że   oraz  
  4. obraz   w dowolnej algebrze ilorazowej   poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka algebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na  

Elementy normalne i twierdzenie spektralneEdytuj

Każdy element samosprzężony jest normalny. Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego   tj. pozwala zdefiniować ściśle element   gdzie   jest zespoloną funkcją ciągłą określoną na widmie  

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci   to jej rzutami są funkcje będące funkcjami charakterystycznymi domknięto-otwartych podzbiorów   (jeżeli przestrzeń   jest spójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

Własności spektralneEdytuj

  • Promień spektralny elementu normalnego jest równy jego normie.
  • W przypadku, gdy C*-algebra   ma jedynkę, to widmo elementu odwracalnego w   jest zawarte w okręgu jednostkowym.
  • Element   C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • Jeżeli   i   są C*-algebrami,   oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu   algebry   (względem algebry  ) jest takie samo jak jego widmo względem algebry   Innymi słowy, widmo   nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Elementy unitarne, twierdzenie Russo-DyegoEdytuj

Element   C*-algebry   (z jedynką 1) jest unitarny, gdy   (równoważnie,   bądź  ). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie macierzy czy operatora unitarnego. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie[1].

Twierdzenie Russo-Dyego: Niech   będzie C*-algebrą z jedynką oraz   niech będzie zbiorem elementów unitarnych w   Wówczas domknięta kula jednostkowa   jest równa domknięciu otoczki wypukłej zbioru   tj.
 

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera[2].

Dowód. Niech   oraz   Wystarczy uzasadnić, że   należy do domknięcia zbioru   To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego   element   należy do domknięcia   Rzeczywiście,
 
Ponieważ   więc element   jest odwracalny, skąd również   jest elementem odwracalnym. Element   jest więc postaci   gdzie   jest pewnym elementem unitarnym oraz
 
gdzie   jest również unitarne. Dowodzi, to że   Z powyższego wynika więc, że   zawiera się w zbiorze   który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie   Równoważnie,   Ciąg   zdefiniowany rekurencyjnie:   – dowolny element   oraz   jest zbieżny do    

Dodatniość, stanyEdytuj

O operatorze   na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest dodatni (czasem ściślej: nieujemny), gdy dla każdego elementu   z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

 

Dodatniość operatora   jest równoważna istnieniu takiego operatora   że   Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie elementu dodatniego w C*-algebrze   jako takiego, który można przedstawić w postaci   dla pewnego elementu   C*-algebry   Dla elementu   C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

  1.   jest elementem dodatnim;
  2. widmo elementu   zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
  3. istnieje taki element samosprzężony   w C*-algebrze   że  

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy stożek, oznaczany czasem symbolem   Stożek ten jest domknięty i wypukły oraz spełnia warunek   W stożku   definiuje się porządek częściowy warunkiem   wtedy i tylko wtedy, gdy element   jest dodatni.

Funkcjonał liniowy \varphi na C*-algebrze   jest nazywany dodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego   z   spełniony jest warunek   Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest stanem. Stan różnowartościowy nazywany jest wiernym.

Funkcjonał dodatni   na C*-algebrze   spełnia następujące warunki dla dowolnych elementów   z  

  1.  
  2.  

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją nierówności Cauchy’ego-Schwarza. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

ReprezentacjeEdytuj

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. Reprezentacją C*-algebry   nazywa się parę   gdzie   jest pewną przestrzenią Hilberta oraz   jest *-homomorfizmem (tj. homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję;   dla dowolnego  ) o wartościach w *-algebrze   wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na   (  z normą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji   C*-algebry   mówi się, że jest

  • niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego     jest takim elementem   że   to   musi być wektorem zerowym;
  • cykliczna, jeżeli istnieje taki element   że zbiór   jest gęsty w   (wektor   nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji   każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
  • wierna, gdy   jest monomorfizmem, tj. jeżeli   to  
  • nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów   nie ma wspólnej, domkniętej, nietrywialnej (tj. różnej od   i  ) podprzestrzeni niezmienniczej.
Dla reprezentacji   następujące warunki są równoważne:
  •   jest nieprzywiedlna,
  •   jest liczbą zespoloną  
  •  
  •   jest gęste w   w mocnej topologii operatorowej.

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:

Aproksymowanie jedności, ideały, C*-algebry ilorazoweEdytuj

Każda C*-algebra ma aproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze   istnieje taki ciąg uogólniony   złożony z elementów samosprzężonych   że dla dowolnego   zachodzi

 

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają jedności (gdy   ma jedność   można przyjąć  ). W przypadku, gdy   jest domkniętym ideałem (obustronnym) w C*-algebrze   dla każdego elementu   istnieje taki ciąg   elementów   o następujących własnościach:

  1. widmo każdego elementu   zawarte jest w przedziale  
  2.  

(gdy   ma jedność, wystarczy zdefiniować   używając ciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem  ).

Używając tego faktu dowodzi się, że

Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli   jest domkniętym ideałem w C*-algebrze   oraz   oraz   to   Z drugiej strony,   oraz   jest domknięty, więc  

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry   przez domknięty ideał   inwolucję wzorem:   Tak zadana inwolucja w   spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być C*-algebry proste (C*-algebra   jest prosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny   oraz ideał niewłaściwy  ). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe   gdzie   jest pewną C*-algebrą oraz   jest jej ideałem maksymalnym. Przykładem jest algebra Calkina, tj. C*-algebra   gdzie   jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, a   oznacza ideał operatorów zwartych na   Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. algebry Cuntza  

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne ideały lewostronne. Jeżeli   jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze   to zbiór

 

jest ideałem lewostronnym w   W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

Iloczyny tensorowe C*-algebrEdytuj

Niech   i   będą C*-algebrami. Algebraiczny iloczyn tensorowy   ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma   w   spełniająca warunek (C*) jest normą krzyżową przestrzeni Banacha, tj.

 [3].

Projektywny iloczyn tensorowy   (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

PrzypisyEdytuj

  1. B. Russo and H. A. Dye, A note on unitary operators in C*-algebras, „Duke Math. J.” 33 (1966), 413–416.
  2. L.T. Gardner, An Elementary proof of the Russo-Dye Theorem, „Proc. Amer. Math. Soc”. 90 (1984), s. 171.
  3. B.J. Vowden, C*-Norms and tensor products of C*-algebras, „J. London Math. Soc.” (2), 7 (1974), s. 595–596.

BibliografiaEdytuj

  • W. Arveson, An Invitation to C*-algebra, „Graduate Texts in Mathematics” No. 39. Springer-Verlag, 1976.
  • J. Dixmier, C*-Algebras, North Holland 1977.
  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
  • M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.