Otwórz menu główne

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z miarą,   oraz niech   będzie przestrzenią Banacha.

  • Funkcję   nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór   jest przeliczalny oraz   dla każdego  
  • Funkcję   nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych   że
  1.   dla  -p.w.  
  2.  
  3.  

Jeżeli   jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

 

określony wzorem

 

gdzie   jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji   względem miary  

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie BochneraEdytuj

Niech   Każde z następujących zdań jest równoważne:

  •   jest całkowalna w sensie Bochnera.
  •   jest  -mierzalna i spełniony jest warunek 1.
  • Istnieje ciąg    -mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór  -mierzalny   że   oraz ciąg   jest jednostajnie zbieżny do funkcji   i spełnione są warunki 2. i 3.

WłasnościEdytuj

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli   jest miarą skończoną, to funkcja   jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Jeżeli funkcja   jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

BibliografiaEdytuj