Całka Gaussa

Całka Gaussa znana także jako całka Eulera-Poissonacałka z funkcji Gaussa na całej prostej. Jej nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka i fizyka Carla Friedricha Gaussa. Jest to całka

Wykres funkcji Pole obszaru zawartego między wykresem funkcji a osią jest równe

Całka ta ma szeroki zakres zastosowań. Przy niewielkiej zmianie zmiennych jest używana do obliczania normalizacji stałej rozkładu normalnego. Ta sama całka ze skończonymi granicami jest ściśle związania zarówno z funkcją błędu, jak i dystrybuantą rozkładu normalnego. W fizyce tego typu całki pojawiają się często, np. w mechanice kwantowej, i są wykorzystywane do znajdowania gęstości prawdopodobieństwa stanu podstawowego oscylatora harmonicznego, również przy znajdowaniu propagatora dla oscylatora harmonicznego wykorzystujemy tę całkę.

Chociaż nie istnieje żadna elementarna funkcja dla funkcji błędu, co może być sprawdzone za pomocą algorytmu Rischa, całkę Gaussa można rozwiązać analitycznie za pomocą metod wielowymiarowego rachunku. Oznacza to, że nie można wyliczyć całki nieoznaczonej

ale całka oznaczona

może być oszacowana.

Całka Gaussa znajduje liczne zastosowania w fizyce, a liczne uogólnienia całki są stosuje się w kwantowej teorii pola.

Obliczanie całki GaussaEdytuj

Przez współrzędne biegunoweEdytuj

Standardowy sposób obliczania całki Gaussa, którego pomysł pochodzi od Poissona[1], wykorzystuje następujące równości

 

Rozważmy funkcję   na płaszczyźnie   i obliczmy tę całkę, korzystając z dwóch narzędzi

  1. przez podwójne całkowanie w układzie współrzędnych kartezjańskich całka ta jest kwadratem  
  2. poprzez całkowanie po powierzchni (w przypadku całki podwójnej w układzie współrzędnych biegunowych) całka ta jest wyliczona i wynosi  

Wykorzystując powyższe narzędzia do obliczeń, otrzymujemy

 

gdzie współczynnik   pochodzi z przejścia do współrzędnych biegunowych (      jest standardową miarą na płaszczyźnie wyrażoną we współrzędnych biegunowych), a podstawienie polega na wzięciu   stąd  

Uzyskujemy

 

stąd

 

DowódEdytuj

Aby uzasadnić całki podwójne niewłaściwe i przyrównać do siebie te dwa wyrażenia, zaczynamy od aproksymacji funkcji

 

Jeżeli całka

 

byłaby bezwzględnie zbieżna, mielibyśmy, że jej wartością główną jest granica

 

która pokrywa się z

 

Istotnie, zauważmy

 

Więc wyliczyliśmy całkę

 

przez wzięcie granicy

 

Biorąc kwadrat wyrażenia   dostajemy

 

Korzystając z twierdzenia Fubiniego, powyższa całka może być postrzegana jako całka powierzchniowa

 

po kwadracie o wierzchołkach   na płaszczyźnie  

Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wartości większe od 0 dla wszystkich liczb rzeczywistych, całka po okręgu wpisanym w kwadrat musi być mniejsza niż   Podobnie całka po okręgu opisanym na kwadracie musi być większa niż   Całki te mogą być łatwo obliczone poprzez przejście ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych

 
 

(Zobacz: przejście ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych).

Całkując, otrzymujemy

 

Z twierdzenia o trzech ciągach, otrzymujemy, że całka Gaussa

 

Przez współrzędne kartezjańskieEdytuj

Inna technika, pochodząca od Laplace’a (1812)[1], jest następująca. Niech

 

Ponieważ granica z   przy   zależy od znaku zmiennej   to upraszcza rachunki, korzystając z faktu, że   jest funkcją parzystą, zatem całka nad zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych jest po prostu podwojeniem całki od   do   tj.

 

Tak więc w całym zakresie całkowania mamy   a zmienne   i   mają te same ograniczenia. To daje nam

 

Zatem   jak oczekiwaliśmy.

Związek z funkcją gammaEdytuj

Funkcja podcałkowa jest funkcją parzystą

 

Tak więc, po zmianie zmiennej   zamienia się w całkę Eulera

 

gdzie   jest funkcją gamma. To pokazuje dlaczego silnia z połowy jest rzeczywistą wielokrotnością

 

Ogólniej

 

UogólnieniaEdytuj

Całka z funkcji GaussaEdytuj

Całką z funkcji Gaussa jest

 

Alternatywną całką jest

 

Całka ta jest bardzo przydatna w obliczaniu wartości oczekiwanych niektórych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa dotyczących rozkładu normalnego. Zobacz np. wartość oczekiwana rozkładu logarytmicznie normalnego.

n-wymiarowe uogólnienie funkcjonalneEdytuj

Zobacz: wielowymiarowy rozkład normalny

Przypuśćmy, że   jest macierzą symetryczną   dodatnio określoną (stąd odwracalną). Wtedy

 

gdzie ta całka jest rozumiana jako całka na zbiorze   Fakt ten jest stosowany w badaniach wielowymiarowego rozkładu normalnego.

Ponadto

 

gdzie   jest permutacją   a dodatkowy czynnik po prawej stronie to suma wszystkich kombinatorycznych par z   z   kopii  

Alternatywnie,

 

dla pewnej analitycznej funkcji   pod warunkiem, że spełnia ona pewne ograniczenia dotyczące jej przyrostu oraz niektóre inne kryteria techniczne (to działa dla niektórych funkcji, np. wielomianów). Eksponenta pod całką jest rozumiana jako szereg potęgowy.

Podczas gdy całki funkcjonalne nie mają ścisłej definicji (lub nawet nieścisłe wyliczenie w większości przypadków), można zdefiniować funkcjonalną całkę Gaussa w sposób analogiczny jak w przypadku skończenie wymiarowym. Nadal istnieje jednak problem, że liczba   jest nieskończona oraz że wyznacznik funkcyjny byłby w ogóle nieskończony. Ten problem może zostać rozwiązany, jeśli weźmiemy pod uwagę stosunek

 

W notacji DeWitta to równanie wygląda identycznie jak w przypadku skończenie wymiarowym.

n-wymiarowe wyrażenie linioweEdytuj

Jeżeli A jest dodatnio określoną macierzą symetryczną, to (zakładając, że wszystkie kolumny są wektorami)

 

Pokrewne całkiEdytuj

 
 
 
 

gdzie   jest liczbą całkowitą dodatnią.

Łatwym sposobem na wyliczenie tej całki jest różniczkowanie pod znakiem całki

 

Wyliczając tę całkę, można również zastosować całkowanie przez części i następnie znaleźć funkcję rekurencyjną.

Wielomiany wyższego stopniaEdytuj

Eksponenta wielomianów wyższego stopnia może być łatwo obliczona przy wykorzystaniu szeregów. Na przykład całka z eksponenty z wielomianu stopnia czwartego jest

 

Zauważmy, że warunek     jest słuszny, ponieważ całka od   do   dokłada czynnik   do każdego składnika, podczas gdy całka od   do   dokłada   do każdego składnika. Tego typu całki wykorzystuje się m.in. w kwantowej teorii pola.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj