Całka krzywoliniowa

Całka krzywoliniowacałka, w której całkowana funkcja przyjmuje wartości wzdłuż pewnej krzywej (regularnej). Gdy krzywa całkowania jest zamknięta, to całkę nazywa się niekiedy całką okrężną.

Funkcja podcałkowa może być polem skalarnym lub wektorowym; w pierwszym przypadku mówi się o całce krzywoliniowej nieskierowanej lub niezorientowanej, w drugim zaś o całce krzywoliniowej skierowanej bądź zorientowanej; nieco innym pojęciem jest opisana w dalszej części całka krzywoliniowa zespolona. Wartość całki krzywoliniowej można sobie wyobrażać jako sumę wartości pola (skalarnego lub wektorowego) we wszystkich punktach z wagą opisaną przez pewną funkcję skalarną na krzywej (w przypadku całki nieskierowanej waga ta jest powiązana z długością łuku, a w przypadku całki skierowanej – z jego parametryzacją, a dokładniej z jej składowymi, czyli rzutami tego łuku na osie współrzędnych). Wspomniana waga odróżnia całkę krzywoliniową od prostszych całek określonych na przedziałach. Wiele prostych wzorów fizycznych ma naturalne, ciągłe odpowiedniki wyrażone w języku całek krzywoliniowych, np.

odpowiada

gdzie całka krzywoliniowa skierowana opisuje pracę wykonaną przez obiekt poprzez przemieszczanie go w polu elektrycznym lub grawitacyjnym.

Całka nieskierowanaEdytuj

 
Dwuwymiarowe pole skalarne   można przedstawić jako powierzchnię   zanurzoną w trójwymiarowej przestrzeni   (pokolorowana): całka krzywoliniowa z   wzdłuż krzywej   leżącej w płaszczyźnie   może być przedstawiona jako pole powierzchni „kurtyny” (zacieniowanej na niebiesko) łączącej pionowo krzywą   (zaznaczonej na czerwono) z powierzchnią   które można wyznaczyć po wyprostowaniu krzywej za pomocą całki prostoliniowej.

Całkę nieskierowaną pola skalarnego   wzdłuż krzywej regularnej (tzn. krzywej kawałkami gładkiej)   definiuje się wzorem

 

gdzie   jest dowolną wzajemnie jednoznaczną parametryzacją krzywej   przy czym   oraz   opisują końce krzywej  

Funkcję   nazywa się funkcją podcałkową, krzywa   to dziedzina całkowania, zaś symbol   może być intuicyjnie rozumiany jako element długości krzywej. Całka krzywoliniowa pola skalarnego wzdłuż krzywej   nie zależy od wybranej parametryzacji   tej krzywej. W szczególności nie jest istotne, który z końców uznać za pierwszy, tzn.

 

gdzie   oznacza dowolną parametryzację przeciwną do danej parametryzacji   np. parametryzację   dla parametryzacji   krzywej   gdzie  

Całka funkcji   dla zawierającej się w płaszczyźnie krzywej   o parametryzacji   gdzie   przyjmuje postać

 

KonstrukcjaEdytuj

Całkę krzywoliniową pola skalarnego można skonstruować za pomocą sumy Riemanna korzystając z powyższych definicji   oraz parametryzacji   krzywej   Można to uczynić poprzez podział przedziału   na   podprzedziałów   długości   wtedy   oznacza pewien punkt, nazywany dalej punktem próbkowym, na krzywej   Można wykorzystać zbiór punktów próbkowych   do przybliżenia krzywej   za pomocą łamanej przez połączenie odcinkiem każdej pary punktów próbkowych   oraz   Odległość między każdą parą sąsiednich punktów krzywych oznaczana będzie w dalszym ciągu przez   Iloczyn   można związać z polem zorientowanym prostokąta o wysokości i szerokości odpowiednio   oraz   Ponieważ

 

to biorąc granicę sumy wyrazów przy długości podziałów dążącej do zera,

 

otrzymuje się całkę Riemanna

 

Całka skierowanaEdytuj

Całkę z pola wektorowego   wzdłuż krzywej regularnej   w kierunku   definiuje się jako

 

gdzie   oznacza iloczyn skalarny, zaś   jest wzajemnie jednoznaczną parametryzacją krzywej   przy czym   oraz   wyznaczają końce  

Całka nieskierowana pola skalarnego jest zatem całką skierowaną pola wektorowego, w którym wektory są zawsze styczne do krzywej.

Całki pól wektorowych są niezależne od parametryzacji   w wartości bezwzględnej, jednak zależą one od jej orientacji: odwrócenie orientacji parametryzacji zmienia znak całki na przeciwny.

Jeżeli   jest krzywą zamkniętą, tzn. jej punkty końcowe pokrywają się, to całkę nazywa się okrężną i czasami korzysta się z oznaczenia

 

Jeśli krzywa   zawiera się w płaszczyźnie i jest przy tym opisana parametryzacją   gdzie   to całka z funkcji   wyraża się wzorem

 
 

KonstrukcjaEdytuj

 
Cząsteczka (zaznaczona na czerwono) przemieszcza się z punktu   do punktu   wzdłuż krzywej   w polu wektorowym   W prawym dolnym rogu przedstawiono pole wektorowe „z punktu widzenia” cząsteczki: w układzie odniesienia cząsteczki wraz ze zmianą kierunku cząsteczki (czerwona strzałka) zmieniają się wektory osiowe (szare strzałki); niebieska strzałka to oddziaływanie pola wektorowego na cząstkę w jej bieżącym położeniu; rzut pola wektorowego na kierunek ruchu cząsteczki (ich iloczyn skalarny) zaznaczony kolorem zielonym jest więc miarą pracy jaką wykonuje pole wektorowe nad cząstką w danym punkcie. Wartość całki krzywoliniowej jest więc równa pracy pola wektorowego nad cząstką wzdłuż całej jej trajektorii.

Całkę krzywoliniową skierowaną pola wektorowego można skonstruować analogicznie do całki nieskierowanej pola skalarnego. Wykorzystując definicje   oraz parametryzacji   krzywej   można skonstruować ją za pomocą sumy Riemanna. Dzieląc przedział   na   przedziałów długości   oznaczając przez   i-ty punkt na   pozycja i-tego punktu na krzywej   będzie dana przez   Jednakże zamiast obliczać odległości między kolejnymi punktami należy wyznaczyć ich wektory przesunięcia   Jak poprzednio, obliczenie   we wszystkich punktach krzywej i wzięcie iloczynu skalarnego z każdym z wektorów przesunięcia daje nieskończenie mały przyrost każdego podziału   na   Przejście z długością podprzedziałów do granicy dążącej do zera daje sumę

 

Wektor przesunięcia między sąsiadującymi punktami krzywej jest dany jako

 

z tego powodu rozpatrywana całka jest równa

 

Niezależność od drogiEdytuj

Osobny artykuł: twierdzenie o gradiencie.

Jeżeli pole wektorowe   jest gradientem pola skalarnego   tzn.

 

to pochodna funkcji złożonej z   oraz   wyraża się przez

 

co pokrywa się z funkcją podcałkową całki krzywoliniowej   względem   Oznacza to, że dla danej drogi   zachodzi

 

Innymi słowy całka   wzdłuż   zależy wyłącznie od wartości   w punktach   oraz   i jest w ten sposób niezależna od drogi między nimi. Z tego powodu o całce krzywoliniowej pola wektorowego, które jest gradientem pola skalarnego, mówi się, że jest ona niezależna od drogi całkowania.

W szczególności, jeśli   jest krzywą zamkniętą, tzn.   to w rozpatrywanym przypadku

 

Całka zespolonaEdytuj

Całka krzywoliniowa jest zasadniczym narzędziem analizy zespolonej. Niech   oznacza podzbiór otwarty płaszczyzny liczb zespolonych   przy tym dana będzie krzywa prostowalna   oraz funkcja   Całka krzywoliniowa

 

może być zdefiniowana poprzez podział przedziału   na

 

i rozważenie wyrażenia

 

Całka jest wówczas granicą tej sumy przy długościach podziałów dążących do zera.

Jeśli   jest krzywą różniczkowalną w sposób ciągły, to całka krzywoliniowa może być wyznaczona jako całka funkcji zmiennej rzeczywistej:

 

Jeśli   jest krzywą zamkniętą, tzn. jej punkt początkowy i końcowy pokrywają się, to stosuje się także zapis

 

Do zasadniczych własności tej całki należy oszacowanie

 

gdzie:

 

oznacza długość krzywej   zaś   jest oszacowaniem górnym na wartości   tzn.

 

Całki krzywoliniowe funkcji zespolonych można obliczać na wiele różnych sposobów: uprościć je za pomocą powyższego oszacowania, podzielić na części rzeczywistą i urojoną redukując problem do obliczenia dwóch całek krzywoliniowych o wartościach rzeczywistych bądź za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego. Jeśli całka krzywoliniowa dana jest wzdłuż krzywej zamkniętej w obszarze, gdzie funkcja jest holomorficzna i nie zawiera osobliwości, to wartością tej całki jest po prostu zero; jest to konsekwencja twierdzenia całkowego Cauchy’ego. Ze względu na twierdzenie o residuach można wykorzystać całkowanie po krzywej zamkniętej w płaszczyźnie zespolonej do znalezienia całek funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (przykład w artykule o twierdzeniu).

PrzykładEdytuj

Niech dana będzie funkcja   oraz krzywa zamknięta   będąca okręgiem jednostkowym wokół zera, którą można sparametryzować za pomocą   gdzie   Podstawiając powyższe do definicji otrzymuje się

 

Wyżej, korzysta się z faktu, że dowolną liczbę zespoloną   można zapisać w postaci   gdzie   oznacza moduł   przy czym dla okręgu jednostkowego   tak więc jedyną zmienną wolną jest kąt oznaczany wyżej przez  

Rezultat ten można porównać z wynikiem otrzymanym przez wzór całkowy Cauchy’ego.

Całka skierowana a zespolonaEdytuj

Postrzegając liczby zespolone jako dwuwymiarowe wektory można zauważyć, że całka krzywoliniowa dwuwymiarowego pola wektorowego odpowiada części rzeczywistej całki krzywoliniowej sprzężenia odpowiedniej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Dokładniej, jeśli   oraz   to

 

przy założeniu, że obie całki po prawej stronie równości istnieją, a parametryzacje   oraz   krzywej   są zgodne (mają tę samą orientację).

Ze względu na równania Cauchy’ego-Riemanna rotacja pola wektorowego odpowiadającego sprzężeniu funkcji holomorficznej wynosi zero. Twierdzenie Stokesa sprawia, że oba rodzaje całek dają zero.

Całka krzywoliniowa może być również obliczona przez zamianę zmiennych.

Zobacz teżEdytuj