Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego

Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego o postaci ogólnej $\Phi (x,y,y^{'},y^{''},\dots ,y^{(n)})=0$ – jest to taka funkcja wielokrotnie różniczkowalna $\phi (x),$ która spełnia to równanie różniczkowe na danym przedziale $D$ (tzn. dla każdego $x\in D$). Podstawienie funkcji $\phi$ w równanie przekształca je w tożsamość $\Phi (x,\phi ,\phi ^{'},\phi ^{''},\dots ,\phi ^{(n)})\equiv 0.$

Rozwiązaniem ogólnym zwyczajnego równania różniczkowego nazywamy taką funkcję $\psi (x;C),$ że dla każdego $C$ należącego do ustalonego przedziału jest ona rozwiązaniem (szczególnym) danego równania.

Przykład

Funkcja

$\psi (x;C)=Ce^{x}$

jest rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego $y=y',$ natomiast każda z funkcji

$e^{x},\ 2e^{x},\ 7e^{x},\ {\sqrt {2}}e^{x}$

jest jego rozwiązaniem szczególnym.