Całki eliptyczne

klasa całek

Całki eliptyczne – to ważna klasa całek postaci

(1)

gdzie jest funkcją wymierną zmiennych i a jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4.

Nazwa całek eliptycznychEdytuj

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Rodzaje całek eliptycznychEdytuj

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

  •  
  •  
  •   h – parametr zespolony.

Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie   dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek, które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre’a, tj.

  •  całka eliptyczna 1. rodzaju,
  •  całka eliptyczna 2. rodzaju,
  •  całka eliptyczna 3. rodzaju.

Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich.

Całki eliptyczne oznaczoneEdytuj

Całki eliptyczne niezupełneEdytuj

Powyższe całki eliptyczne 1. i 2. rodzaju traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do   oznacza się za Legendre’em odpowiednio

  •   – eliptyczna całka oznaczona 1. rodzaju,
  •   – eliptyczna całka oznaczona 2. rodzaju.

Parametr   występujący w funkcjach   oraz   nazywamy modułem.

Całki eliptyczne zupełneEdytuj

Całki eliptyczne   oraz   nazywamy całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych, które oblicza się w zakresie od 0 do  

  •  
  •  

Wartości całek eliptycznych zupełnych   oraz   są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznych.

Obliczanie obwodu elipsyEdytuj

Dokładną wartość obwodu elipsy wyznacza całka eliptyczna zupełna drugiego rodzaju, wzorem[1]

 

gdzie  mimośród elipsy.

Np. dla   oraz   mimośród wynosi   co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy  

Całki eliptyczne jako podklasa całek AbelaEdytuj

Całki tego rodzaju, w których za zmienną   podstawia się dowolną funkcję algebraiczną zmiennej   taką że

 

gdzie   jest wielomianem względem zmiennych   i   nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcje odwrotne do całek eliptycznychEdytuj

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa   zmiennej zespolonej   o parametrach   jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

 

tzn.

 

o ile  

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.

PrzypisyEdytuj

  1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1968, s. 269.

BibliografiaEdytuj

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 1959, s. 92–93 (Tablice całek), s. 409–410 definicje całek.