Otwórz menu główne

Całkowanie numerycznemetoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

Metoda prostokątówEdytuj

Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):

 

Jeśli funkcja   zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale   reguła taka da dobre przybliżenie całki.

Metoda trapezówEdytuj

Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych, tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. Przedział całkowania   dzielimy przy tym na   równych części o długościach:

 

Punktami podziału (końcami części) są wówczas:

 

Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosi

 

gdzie:

  – wartości funkcji w punktach podziału.

Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:

 

Oszacowanie błędu tej metody wynosi

 

gdzie:

 

Metoda parabol (Simpsona)Edytuj

Osobny artykuł: Metoda Simpsona.

Wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn.

 

Dla uproszczenia oznaczamy:

  oraz  

wykonując całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a z 3 kolejnych punktów, otrzymujemy wzór Simpsona:

 

dla całego przedziału (a,b) otrzymujemy:

 

Metody losoweEdytuj

Do przybliżonego obliczania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową.

Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla   i odjęciu pola nad wykresem dla  

  • probabilistyczna
 
  jest losowo wybierane z przedziału  
  określa liczność próbki.

PrzykładyEdytuj

Przykład – metoda prostokątówEdytuj

Spróbujmy scałkować funkcję   na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:

 

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:

 

co daje błąd 0,0361115771 (błąd względny 4,3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:

 

z błędem bezwzględnym 0,0088296604 lub względnym 1%.

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów, możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Liczba
części
Wynik Błąd
bezwzględny względny
1 0,8775825619 0,0361115771 4,29%
2 0,8503006452 0,0088296604 1,05%
4 0,8436663168 0,0021953320 0,26%
8 0,8420190672 0,0005480824 0,07%

Przykład 2Edytuj

Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg   na przedziale od 0 do   [s]. Oznaczmy częstotliwość próbkowania przebiegu przez   [Hz].

Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału   wynosi 1. Niech   oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz   można obliczyć jako sumę częściową:

 

Zobacz teżEdytuj