Całkowanie numeryczne

Całkowanie numerycznemetoda numeryczna[1] polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wielowymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć nazwa kwadratura odnosi się również do całkowania w wyższych wymiarach.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

Metoda prostokątówEdytuj

Najprostsza z metod kwadraturowych polega na zastosowaniu wzoru

 

w którym   jest liczbą podprzedziałow o długości  

Metoda ta ma trzy warianty:

  • lewych prostokątów, gdy  
  • średnich prostokątów, gdy   - ten wariant daje najlepsze przybliżenie,
  • prawych prostokątów, gdy  

Istnieje oczywiście wariant ogólny, gdy  

Metoda trapezówEdytuj

Metoda trapezów polega na tym, że całkowaną funkcję aproksymujemy liniowo w każdym z podprzedziałów   o długości   Dzięki temu otrzymujemy po wprowadzeniu oznaczenia  

 

Oszacowanie błędu tej metody wynosi

 

gdzie:

 

Metoda parabol (Simpsona)Edytuj

Osobny artykuł: Metoda Simpsona.

Ta metoda wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę   podprzedziałów, tzn.

 
 

Stosując kwadratową interpolację Lagrange'a na dwu sąsiadujących podprzedziałach otrzymujemy

 
 

Przy całkowaniu funkcji   na przedziale   błąd metody wynosi

 

Metoda GaussaEdytuj

Osobny artykuł: Kwadratury Gaussa.

Istotne podwyższenie dokładności wzorów kwadraturowych można uzyskać stosując metodę Gaussa[1]. Jej istota polega na minimalizacji błędu kwadratury przez optymalny wybór położenia węzłów   oraz wartości wag   we wzorze kwadraturowym

 
(a)

w którym  

Dzięki zastosowanemu we wzorze (a) odwzorowaniu   dowolnego przedziału   na standardowy przedział   wzór ten jest uniwersalny ponieważ unikalne wartości   można stablicować raz na zawsze.

Obliczenie wartości   można przeprowadzić żądając, aby całkowanie procedurą Gaussa jednomianów   dawało wyniki ścisłe

 
(b)

to znaczy aby było dla  

 

Po rozpisaniu otrzymujemy, trudny do rozwiązania, nieliniowy układ   równań

 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c)

określający   wartości  

W poniższej tabeli zestawiono[2] obliczone wartości parametrów   dla wielomianów stopni  

         
1 0
2  
3   0
4    
5     0
6      
7       0
8        


         
1  
2  
3    
4    
5      
6      
7        
8        


Cytowany w literaturze[1] sposób rozwiązania układu równań (c) polega na spostrzeżeniu, że dla dowolnie przyjętych wartości liczbowych   macierz współczynników   pierwszych   równań tego układu, jest macierzą Vandermonde'a. Dzięki temu wiadomo, że istnieje jednoznacznie określone rozwiązanie   Kwestią otwartą pozostaje jednak wyznaczenie optymalnych wartości  

W tym celu warunek (b) modyfikuje się do postaci obowiązującej dla wielomianów stopnia  

 
(d)

gdzie   jest wielomianem stopnia  

Całka we wzorze (d) zeruje się, gdy wielomiany   są ortogonalne z jednomianami   dla   przy   Dokładnie taką własność[3] mają wielomiany Legendre'a. Dla nich mamy wtedy zamiast (d)

 
(e)

Ten warunek jest spełniony tożsamościowo dla dowolnych wartości   gdy   są pierwiastkami wielomianu Legendre'a  -tego stopnia, wtedy bowiem  

Metody losoweEdytuj

Do przybliżonego obliczania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową.

Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla   i odjęciu pola nad wykresem dla  

  • probabilistyczna
 
  jest losowo wybierane z przedziału  
  określa liczność próbki.

PrzykładyEdytuj

Przykład – metoda prostokątówEdytuj

Spróbujmy scałkować funkcję   na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:

 

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:

 

co daje błąd  0,0361115771 (błąd względny 4,3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:

 

 

z błędem bezwzględnym  0,0088296604 lub względnym 1%.

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów, możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Liczba
części
Wynik Błąd
bezwzględny względny
1 0,8775825619 0,0361115771 4,29%
2 0,8503006452 0,0088296604 1,05%
4 0,8436663168 0,0021953320 0,26%
8 0,8420190672 0,0005480824 0,07%
0,8414709848 0 0%

Przykład 2Edytuj

Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg   na przedziale od 0 do   [s]. Oznaczmy częstotliwość próbkowania przebiegu przez   [Hz].

Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału   wynosi 1. Niech   oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz   można obliczyć jako sumę częściową:

 

PrzypisyEdytuj

  1. a b c B.P. Demidowicz, I.A. Maron, Metody numeryczne, cz.2, PWN, Warszawa 1965
  2. B. Olszowski, Wybrane metody numeryczne, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2007
  3. Ш.Е. Микеладзе, Численные методы математического аналза, Гостехиздат, 1953, гл. XIII, XVIII

Zobacz teżEdytuj