Otwórz menu główne

Całkowanie przez podstawienie

Opis metodyEdytuj

Jeśli:

  • Funkcja   jest różniczkowalna w  
  •   jest przedziałem
  • Funkcja   ma funkcję pierwotną w przedziale   tzn.   dla   należących do  
  •  

to funkcja   jest całkowalna w   oraz:

 

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

 

to można zmienić podstawę całkowania na  

 

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

  • Funkcja   jest całkowalna w swej dziedzinie.
  • Funkcja   określona na przedziale   jest różniczkowalna w sposób ciągły.
  •   dla każdego   z przedziału  
  • Obraz funkcji   zawiera się w dziedzinie funkcji  

Wówczas:

 

PrzykładyEdytuj

  • Obliczając całkę   zastosować można podstawienie   tzn.   więc:
 
  • Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
 

Przydatne podstawieniaEdytuj

Całkowanie funkcji trygonometrycznychEdytuj

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci  ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

  • W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne   Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus   stosuje się podstawienie  
  • Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus   stosuje się podstawienie  
  • Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie   stosuje się podstawienie  

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

 
 
 

zachodzi:

 
 

W przypadku podstawienia   mamy dla funkcji postaci  

   
 
 
 

PrzykładyEdytuj

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

 
 

Podstawienia EuleraEdytuj

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci   gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie EuleraEdytuj

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy:   Wobec tego otrzymuje się:

 
 

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:  

II podstawienie EuleraEdytuj

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

 

Zachodzi:

 
 

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:  

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

 

Wtedy gdy   to da się tak dobrać   aby  

III podstawienie EuleraEdytuj

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu   Przyjmuje się wtedy:

  Stąd:
 
 

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:  

Całkowanie różniczek dwumiennychEdytuj

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci:   gdzie   i   są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz   i   są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto   gdzie   są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

 

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

  • gdy   jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
  • gdy   jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie  
  • gdy   jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie  

Podstawienia trygonometryczneEdytuj

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

  •   – podstawiamy   lub  
  •   – podstawiamy   lub  
  •   – podstawiamy   lub  

Inne podstawieniaEdytuj

  • Całki typu   obliczamy przez podstawienie   Stąd:  
  • Całki typu   gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając   gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.

Zobacz teżEdytuj