Centralizator i normalizator

Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Centralizator

edytuj

Niech   Centralizatorem elementu   nazywamy podgrupę

 

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru   niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru   nazywamy grupę

 

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru  

Centrum

edytuj

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

 

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy   mamy zatem  

O centralizatorze elementu   można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie   zawierającej   w swoim centrum  

Indeks grupy względem centrum   można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia,  

Twierdzenie Schura

edytuj

Jeśli   to  

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w[1].

Normalizator

edytuj

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru  

Normalizatorem   w   jest podgrupa

 

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli   to   jest największą podgrupą   mającą   jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze

edytuj

Niech   będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy   grupy   na zbiorze warstw   zadane wzorem   Wówczas   jest podgrupą normalną   Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w  

Jeśli   to  

Oznaczenia

edytuj

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie   mamy więc   oraz   dla dowolnego zbioru  

Własności

edytuj

Niech   będą grupami,  

  • Niech     co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   i   komutują ze sobą.
    • Jeśli   to  
  • Jeśli   jest abelowa, to   oraz  
    • grupa   jest abelowa  
  •   jest zawsze podgrupą normalną  
    •   jest podgrupą normalną  
  •  
  • Jeśli grupa ilorazowa   jest cykliczna, to   jest abelowa.
  • Jeśli   jest grupą nieabelową, to jej indeks względem   jest większy od  
  • Jeśli   to  

Jeżeli   wtedy grupa ilorazowa   jest izomorficzna z podgrupą   grupą automorfizmów  

Jeżeli   to   jest izomorficzna z   podgrupą   zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy  

Jeżeli   to homomorfizm   taki, że   pozwala na opisanie   oraz   w terminach działania grupy   na grupie  

  •   jest stabilizatorem   w  
  •   jest podgrupą punktów stałych  

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.

Bibliografia

edytuj
  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.