Otwórz menu główne
Wykres ciągu Cauchy’ego (xn) oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Jeżeli przestrzeń zawierająca ciąg jest zupełna, to jego granica istnieje.
Ciąg, który nie jest Cauchy’ego. Elementy ciągu nie zbliżają się do siebie wraz z jego postępem.

Ciąg Cauchy’egociąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych), którego dwa dowolne elementy, jeśli mają dostatecznie wysokie indeksy, są dowolnie blisko siebie. O ciągu, który jest ciągiem Cauchy’ego, mówi się też, że spełnia warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy’ego.

Ponieważ definicja ciągu Cauchy’ego korzysta z pojęcia odległości (metryki), to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy’ego polega przede wszystkim na tym, że dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się np. w algorytmach by wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie, iż kolejne wyrazy iteracji tworzą ciąg Cauchy’ego.

Ponieważ każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych, a taki ciąg okazuje się ciągiem Cauchy’ego, więc ciągi takie posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

Definicje formalneEdytuj

Niech   będzie ciągiem liczbowym, tj.   Ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli

 

Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą   można, ustalić odpowiednio duży wskaźnik   taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż  

Pojęcie to można przenieść na dowolne przestrzenie metryczne.

Niech   będzie przestrzenią metryczną i niech   będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli

 

Definicję ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru.

Niech   będzie ciągiem elementów tej przestrzeni metrycznej i   Ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego, gdy

 

PrzykładyEdytuj

  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym   jest ciągiem Cauchy’ego. Rzeczywiście, dla dowolnego   wystarczy przyjąć   Wówczas dla   zachodzi:
     
  • Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym   nie jest ciągiem Cauchy’ego. Niech np.   wówczas dla dowolnego   dwa wyrazy ciągu   spełniają
     

WłasnościEdytuj

(1) W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania:

  • jeżeli ciąg jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy’ego (ale niekoniecznie odwrotnie)
  • każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony,
  • ciąg Cauchy’ego   mający punkt skupienia   (zawierający podciąg zbieżny do  ) jest zbieżny do  [1].

(2) W przestrzeniach euklidesowych   (w szczególności w przestrzeni liczb rzeczywistych  ) dodatkowo zachodzą własności:

  • ciąg punktów   jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów   jest ciągiem Cauchy’ego;
  • ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.

Ciąg podstawowyEdytuj

Df. Ciąg liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się ciągiem podstawowym.

Tw. Każdy ciąg liczb wymiernych zbieżny do liczby wymiernej (w szczególności ciąg stały) jest ciągiem podstawowym.

Np.

 

Ciągi podstawowe niekoniecznie są zbieżne do liczby wymiernej   Np. wszystkie ciągi monotonicznie rosnące (malejące) i ograniczone z góry (z dołu)

  gdzie   oznacza część całkowitą liczby  

Jest to ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych z dołu liczby π   i jego granicą jest oczywiście liczba niewymierna.

Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy, różnice, iloczyny oraz ilorazy.

Ciągi podstawowe mają zastosowanie w konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.

ZupełnośćEdytuj

W szczególności przestrzeń   (z wartością bezwzględną) i przestrzeń   (z metryką euklidesową) są zupełne.

Inne postacieEdytuj

SzeregiEdytuj

Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.

Niech   będzie przestrzenią Banacha, a   ciągiem jej elementów. Szereg   spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli

 

Szereg   jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla   Przyjęcie w powyższym warunku   daje definicję granicy ciągu   do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga zbieżności szeregu, lecz mimo wszystko pozostaje on prawdziwy, gdy ciąg jest zbieżny, dlatego nazywa się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (zob. warunek konieczny).

Przestrzenie liniowo-topologiczneEdytuj

W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.

Ciąg   punktów przestrzeni liniowo-topologicznej   nazywa się ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera   istnieje taka liczba naturalna   że dla   jest

 

W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych. Jeżeli topologia przestrzeni   jest wyznaczona przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę   to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

Funkcje mierzalneEdytuj

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Niech   będzie pewną kulą w przestrzeni metrycznej   z warunku Cauchy’ego dla ciągu   wynika istnienie   dla którego   dla   a ponieważ   jest punktem skupienia   to można wybrać   dla którego   skąd   dla  

BibliografiaEdytuj

  • Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.
  • Leja Franciszek, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
  • Maurin Krzysztof, Analiza. Część I. Elementy, PWN, Warszawa 1976.
  • Musielak Helena, Musielak Julian, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2000.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.