Ciąg Fareya

Ciąg ułamków Fareya rzędu rosnący ciąg wszystkich nieskracalnych ułamków takich, że [1].

PrzykładEdytuj

 [2].

WłasnościEdytuj

  • Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya[3].
  • Dla   nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku[4].
  • Jeśli   są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya   to  [5].
  • Jeśli   są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya   to  [6].

Przykład zastosowaniaEdytuj

Znaleźć liczby   najbliższe   których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

 

czyli

 

zachodzi nierówność:

 

więc:

 

Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że  

czyli:

 

a zatem:

 

W kolejnych krokach dostajemy:

 
 
 
 
 
 

Liczby   oraz   są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Definicja 12.2.
  2. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Przykład 12.3.
  3. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Twierdzenie 12.4.
  4. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.6.
  5. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.7.
  6. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.8.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Farey Sequence, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).