Ciąg Fareya
ciąg dodatnich liczb wymiernych zdefiniowany nierównościami
Ciąg ułamków Fareya rzędu – rosnący ciąg wszystkich nieskracalnych ułamków takich, że [1].
Przykład
edytuj[2].
Własności
edytuj- Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya[3].
- Dla nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku[4].
- Jeśli są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya to [5].
- Jeśli są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya to [6].
Przykład zastosowania
edytujZnaleźć liczby najbliższe których mianowniki są mniejsze od 50.
Mamy:
czyli
zachodzi nierówność:
więc:
Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.
Stwierdzamy, że
czyli:
a zatem:
W kolejnych krokach dostajemy:
Liczby oraz są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Definicja 12.2.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Przykład 12.3.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Twierdzenie 12.4.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.6.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.7.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.8.
Linki zewnętrzne
edytuj- Ułamki Fareya, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
- Eric W. Weisstein , Farey Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Kontrola autorytatywna (ciąg liczbowy):