Otwórz menu główne

Ciąg Fibonacciego

ciąg liczb naturalnych

Ciąg Fibonacciegociąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Wykres funkcji dla pierwszych ośmiu wyrazów ciągu Fibonacciego
Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Formalnie:

Kolejne wyrazy tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego. Zaliczanie zera do elementów ciągu Fibonacciego zależy od umowy – część autorów definiuje ciąg od [1].

Pierwsze dwadzieścia wyrazów ciągu Fibonacciego to:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181

Ciąg został omówiony w roku 1202 przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, w dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę „ciąg Fibonacciego” spopularyzował w XIX w. Édouard Lucas[2].

Wzór BinetaEdytuj

Jawny wzór na  -ty wyraz ciągu Fibonacciego podany w 1843 r. przez J.P.M. Bineta możemy otrzymać, korzystając z metody funkcji tworzących.

Niech

 

Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać

 

Podstawiając   otrzymujemy:

 

W szczególności,

 

Wyrażenie   można przedstawić w prostszej postaci, mianowicie:

 

gdzie:

 
 
 
 

Wówczas:

 

a stąd:

 

Ponieważ   wyprowadzony został ostatecznie tzw. wzór Bineta zwany czasem wzorem Eulera-Bineta:

 

Ponieważ drugi człon tego wyrażenia szybko zbiega do zera

 

Znaczenia kombinatoryczneEdytuj

  • liczba ciągów o wyrazach równych 1 lub 2, które sumują się do liczby   jest równa  
  • liczba pokryć planszy   kostkami domina   jest równa  
  • liczba ciągów binarnych bez kolejnych jedynek (równoważnie zer) jest równa  
  • liczba podzbiorów zbioru   bez kolejnych liczb jest równa  
  • liczba ciągów binarnych bez nieparzystej długości ciągów jedynek jest równa  
  • liczba ciągów binarnych bez parzystej długości ciągów zer lub jedynek jest równa  

WłasnościEdytuj

 
Sumy wyrazów tworzące ciąg Fibonacciego na trójkącie Pascala.

Można też wyrazić wartości kolejnych elementów ciągu za pomocą symbolu Newtona:

 

Zachodzą równości:

 
 
 
Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego
  (równanie ilustruje rysunek)
 
 
 
  tzw. zależność Cassiniego (1680)[3], która leży u podstaw zagadki brakującego kwadratu[4] oraz uogólniona wersja:
  tzw. zależność Catalana[5]
 
 
 
 
 [6]
 

Dowód: W zapisie   jako sumy jedynek i dwójek jest nieparzysta liczba jedynek. Lewa strona równości stanowi zliczanie liczby zapisów   w którym parametry   i   odpowiadają liczbie dwójek po prawej i lewej stronie środkowej jedynki.

Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego:

  • Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb ciągu Fibonacciego zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym.
  • Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 0, 1 i 144[potrzebny przypis].
  • Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer   dzieli się przez   to liczba   dzieli się przez   Dokładniej:
Jeśli   to:  

Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb:  

  • Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego.
  • Istnieje nieskończenie wiele liczb   dla których zachodzi podzielność   W szczególności można pokazać, że jeśli   to  

Obliczanie liczb FibonacciegoEdytuj

Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja   wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru   musi mieć co najmniej   liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność.

Istnieje równie prosta i znacznie szybsza metoda. Obliczamy wartości ciągu po kolei:       i tak aż do   za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie trzeba nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości, ponieważ wystarczą dwie ostatnie. Daje to złożoność liniową – o wiele lepszą od wykładniczej złożoności poprzedniej metody. Metoda ta może być postrzegana jako zastosowanie programowania dynamicznego.

 Fibonacci( n )
   if n=0 then return 0
   if n=1 then return 1
   f' ← 0
   f ← 1
   for i ← 2 to n
     do
       m ← f + f'
       f' ← f
       f ← m
     end
   return f

Macierze liczb FibonacciegoEdytuj

Można zrobić to jeszcze szybciej dzięki zależności:

 

Ponieważ równocześnie:

 

to indukcyjnie:

 

lub w notacji wektorowej

 

A ponieważ potęgowanie macierzy dla naturalnego wykładnika potęgi można przeprowadzić bardzo wydajnie algorytmem szybkiego potęgowania, możemy wyliczyć dowolny wyraz ciągu Fibonacciego z kosztem logarytmicznym względem   tzn. obliczenie   wymaga ilości mnożeń   (symbol   oznacza asymptotyczne tempo wzrostu).

Graficzna reprezentacja dwójkowaEdytuj

 
Ciąg Fibonacciego w systemie dwójkowym

Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony, to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się („czubek” pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu – pojawia się nad nim „biały trójkąt”), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki – czarnymi.

Złota liczbaEdytuj

Granica ciągu:

 

czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego, to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania:

  lub równoważnego  

czyli

 
 

DowódEdytuj

Taka granica istnieje, gdyż ten ciąg jest nierosnący i ograniczony z dołu przez 0. Teraz należy wyłącznie ją obliczyć.

 

Jest ona także pierwiastkiem wielomianu   oraz równania  

W powyższym dowodzie informacja o początkowych wyrazach ciągu, czy też jakichkolwiek innych, nie była wykorzystywana, dlatego dla dowolnego ciągu

 

zachodzi wzór:   Czasem taki ciąg G również nazywany jest ciągiem Fibonacciego lub uogólnionym ciągiem Fibonacciego.

Jeżeli, a i b nie są równocześnie zerami, to granica ciągu   jest taka sama jak dla oryginalnego ciągu Fibonacciego.

Kolejne wyrazy ciągu:   są także wartością  -tego odcinka ułamka łańcuchowego:  

wartościami kolejnych odcinków są liczby:

 

Liczby pierwsze w ciągu FibonacciegoEdytuj

Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to także liczby pierwsze[7], a mianowicie: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229. Wydaje się prawdopodobne, że liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego istnieje nieskończenie wiele, lecz problem ten jak dotąd nie doczekał się rozstrzygnięcia.

Pokrewne ciągiEdytuj

Ciąg LucasaEdytuj

Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go

 

Zachodzą równości:

 
 
 
 
 
 

Ciąg „Tribonacciego”Edytuj

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, że każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich trzech wyrazów zamiast dwóch[8].

Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890...

Stała „Tribonacciego” jest granicą ciągu:   (gdzie   jest  -tym wyrazem ciągu „Tribonacciego”), czyli analogiem złotej liczby dla ciągu Fibonacciego. Jest ona pierwiastkiem wielomianu   oraz równania   i wynosi ok. 1,83929.

Ciąg „Tetranacciego”Edytuj

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich czterech wyrazów zamiast dwóch[9].

Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569...

Stała „Tetranacciego” jest granicą ciągu:   (gdzie   jest  -tym wyrazem ciągu „Tetranacciego”). Jest ona pierwiastkiem wielomianu   oraz równania   i wynosi ok. 1,92756.

Słowa FibonacciegoEdytuj

Osobny artykuł: Słowa Fibonacciego.

Ciąg słów Fibonacciego to ciąg słów

 

Ciąg Fibonacciego w biologiiEdytuj

W kształtach wielu roślin widać linie spiralne. Na przykład na owocu ananasa 8 takich linii biegnie w jedną stronę, a 5 lub 13 w przeciwną. Na tarczy słonecznika może się krzyżować 55 spiral z 89 (liczby te bywają większe). Również różyczki kalafiora ułożone są spiralnie.

U większości roślin takie organy jak łodyga, liście czy kwiaty rozwijają się z małego, centralnie usytuowanego skupiska komórek – merystemu. Każdy zawiązek nowego organu (zwany primordium) wyrasta z merystemu w innym kierunku, pod pewnym kątem w stosunku do zawiązka, który pojawił się wcześniej. Okazuje się, że u wielu roślin ten kąt jest taki sam i że to właśnie dzięki niemu powstają wspomniane linie spiralne. Ten kąt to w przybliżeniu 137,5 stopnia (jest to tak zwany „Złoty kąt”). „Złotego kąta” nie da się wyrazić ułamkiem zwykłym. Jego dopełnienie do 360 stopni wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 i tak dalej (oparcie na liczbach Fibonacciego), ale żaden ułamek zwykły nie odpowiada mu ściśle.

Kiedy pojawiają się kolejne zawiązki, to jeśli każdy następny utworzy z poprzednim wspomniany „złoty kąt”, nigdy nie dojdzie do tego, by dwa z nich (lub więcej) rozwijały się w tym samym kierunku. Dzięki temu organy nie wyrastają z merystemu promieniście, lecz układają się w linie spiralne.

Ciąg Fibonacciego w muzyceEdytuj

Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Zależności takie występują w utworach muzycznych – najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai[10] wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku:

  • zakończenie ekspozycji – t. 21,
  • początek stretto – t. 34,
  • kulminacja części – t. 55,
  • koniec części – t. 89.

W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheinz Stockhausen Klavierstück IX, Luigi Nono Il canto sospeso, Christobal Halffter Fibonacciana[11]. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.:

  • kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut,
  • wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut[12].

Ciąg Fibonacciego używany jest też przez twórców spoza muzyki klasycznej, np. zespół Tool wykonujący muzykę z pogranicza rocka i metalu progresywnego w albumie Lateralus w tytułowym utworze użył ciągu Fibonacciego do stworzenia linii wokalnej.

Ciąg Fibonacciego w literaturzeEdytuj

Motyw ciągu Fibonacciego wykorzystany został także w utworach literackich. W książce Kod Leonarda da Vinci Dana Browna stanowi on element jednego z kodów, który muszą złamać główni bohaterowie. W powieści Gniazdo światów Marka Huberatha ciąg Fibonacciego jest podstawą struktury wszechświata, na której oparte są kolejne jego poziomy.

Istnieją też utwory poetyckie nawiązujące formą do ciągu Fibonacciego. Współczesny poeta polski Marcin Orliński (na potrzeby czasopisma satyrycznego) nazwał ten gatunek fibonagramem[13]. W obrębie fibonagramu wyróżnił fibonagram literowy (liczba liter w kolejnych wyrazach odpowiada wartości kolejnych wyrazów w ciągu) i fibonagram wyrazowy (liczba słów w wersie odpowiada wartości kolejnych wyrazów w ciągu).

PrzypisyEdytuj

  1. Zero jest zaliczane do ciągu Fibonacciego np. w książce Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 16, seria: BM 16. Nie jest natomiast zaliczane do ciągu Fibonacciego w Wielkiej Encyklopedii Powszechnej PWN, 1964, tom 3, s. 636, link.
  2. Andrzej Lenda „Liczby Fibonacciego”.
  3. Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: PWN, 2006, s. 326.
  4. Martin Gardner: Mathematics Magic and Mystery. Nowy York: Dover Publications, Inc., 1956.
  5. Harold Scott MacDonald Coxeter: Wstęp do geometrii starej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  6. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Teoria liczb, algebra i elementy analizy matematycznej. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2005, s. 206–207. ISBN 83-86007-21-4.
  7. A005478.
  8. A000073.
  9. A000078.
  10. Lendvai, Ernő (1971). Béla Bartók: An Analysis of His Music. London: Kahn and Averill.
  11. B. Schaeffer, Mały informator muzyki XX wieku, Kraków 1975, s. 121.
  12. T. Weselmann, Musica incrostata, Poznań 2003, s. 58–60.
  13. Marcin Orliński, Gad zapił bezę, „Przekrój”, 2019 (2).

Linki zewnętrzneEdytuj