Ciąg arytmetyczny

ciąg o stałej różnicy sąsiednich wyrazów

Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Definicja formalna i przykłady edytuj

Ciąg liczbowy   nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby   (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

 

Równoważnie,   jest ciągiem arytmetycznym, jeśli

 
Przykłady
  • ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
  • ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (  ale  ),
  • dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.

Własności edytuj

  • Ciąg arytmetyczny o różnicy   ma następujący wzór ogólny[1][2]:
 
  • Zatem aby wyznaczyć pierwszy wyraz   ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę   wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
  • Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:
 
  • Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego edytuj

Suma   początkowych   wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i  -tego pomnożona przez liczbę wyrazów  [1]:

 

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat[3].

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę   pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

    oraz
 

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

 

a stąd

 

i

 

Pamiętając, że   powyższą równość możemy przekształcić do:

 

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową edytuj

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową   Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów   różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty   będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego  

Dowód:

 
 
 

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej  

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej   dla kolejnych naturalnych  

 
 
 
 
 

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

 

Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

 

Przypisy edytuj

  1. a b Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0.
  2. ciąg arytmetyczny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-30].
  3. MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz [1], natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek.