Otwórz menu główne

Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Definicja formalna i przykładyEdytuj

Ciąg liczbowy   nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby   (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

 

Równoważnie,   jest ciągiem arytmetycznym, jeśli

 
Przykłady
  • ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
  • ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (  ale  ),
  • dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.

WłasnościEdytuj

  • Ciąg arytmetyczny o różnicy   ma następujący wzór ogólny:
 
  • Zatem aby wyznaczyć pierwszy wyraz   ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę   wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
  • Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:
 
  • Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznegoEdytuj

Suma   początkowych   wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i  -tego pomnożona przez liczbę wyrazów  :

 

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat[1].

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę   pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

    oraz
 

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

 

a stąd

 

i

 

Pamiętając, że   powyższą równość możemy przekształcić do:

 

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniowąEdytuj

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową   Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów   różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty   będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego  

Dowód:

 
 
 

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej  

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej   dla kolejnych naturalnych  :

 
 
 
 
 

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

 

Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz [1], natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek.