Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.
Definicja formalna i przykłady edytuj
Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi
Równoważnie, jest ciągiem arytmetycznym, jeśli
- Przykłady
- ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
- ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny ( ale ),
- dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.
Własności edytuj
- Zatem aby wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
- Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:
- Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.
Suma skończonego ciągu arytmetycznego edytuj
Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i -tego pomnożona przez liczbę wyrazów [1]:
Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat[3].
- Dowód wzoru
Wyraźmy sumę pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:
- oraz
(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).
Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy
a stąd
i
Pamiętając, że powyższą równość możemy przekształcić do:
Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową edytuj
Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego
Dowód:
Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej
Czyli ciąg wartości funkcji liniowej dla kolejnych naturalnych
będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym
Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:
Przypisy edytuj
- ↑ a b Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ ciąg arytmetyczny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz [1], natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek.