Ciąg dokładny

Niech będzie ciągiem grup oraz – ciągiem homomorfizmów:

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

[1],

gdzie:

jest elementem neutralnym grupy

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań[2].

Kategorie abeloweEdytuj

Ciąg

 

obiektów kategorii abelowej   i morfizmów   takich że

 

jest nazywany ciągiem dokładnym[3].

PrzykładyEdytuj

  • Niech   oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:
  oznacza, że   jest monomorfizmem, bo   gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy  
  oznacza, że   jest epimorfizmem, bo  
  oznacza, że   jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.
  • Niech grupa   zawiera nietrywialną podgrupę normalną   Wtedy ciąg dokładny
 

nazywa się rozszerzeniem grupy   za pomocą grupy   Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy   oraz faktorgrupy  [4].

 

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   spełniona jest równość

 

to znaczy, gdy dla wszystkich   zachodzi równość  

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)[5].

  • Dla przekształcenia łańcuchowego   kategorii   kompleksy   stożek   i zawieszenie   ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:
 

gdzie   i  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. А.А. Кириллов, op. cit., s. 21.
  2. S. Balcerzyk, T. Józefiak, op. cit., s. 23.
  3. Математическая энциклопедия, op. cit., s. 410.
  4. А.А. Кириллов, op. cit., s. 26.
  5. A. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 28.

BibliografiaEdytuj

  • А.А. Кириллов: Теория представлений. Москва: Наука, 1978.
  • Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3.
  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
  • A. Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, 1972.]