Ciąg funkcyjny

Ciąg funkcyjny – ciąg, którego wyrazami są funkcje

Definicja

Ciąg funkcyjny $\{f_{n}(x)\}$ określony na podzbiorze $X$ zbioru liczb rzeczywistych $X\subseteq R$ lub zespolonych $\,X\subseteq C$ jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej $n$ dokładnie jednej funkcji $f_{n}(x)$ określonej na tym zbiorze.

Zamiast $\{f_{n}(x)\}$ piszemy też $f_{1},f_{2},\ldots f_{n},\ldots$

Przykład

$\{f_{n}(x)\}=\{nx^{2}+{\frac {x}{n}}\}\equiv x^{2}+{\frac {x}{1}},\,2x^{2}+{\frac {x}{2}},\,3x^{2}+{\frac {x}{3}},\,\ldots ,nx^{2}+{\frac {x}{n}},\ldots$

- poszczególne funkcje ciągu są zależne od wartości indeksu $n\in N$; $x\in X$ - liczba rzeczywista / zespolona.

Zbieżność

Dla ciągów funkcyjnych rozważa się zagadnienie ich zbieżności, ciągłości, różniczkowalności, całkowania.

Rodzaje zbieżności

W zależności od kontekstu i przestrzeni funkcji wyróżnia się:

• zbieżność jednostajną,
• zbieżność monotoniczną,
• zbieżność prawie jednostajną,
• zbieżność prawie wszędzie,
• zbieżność punktową ciągu funkcji,
• zbieżność według miary ciągów funkcyjnych.

Zobacz też

• szereg funkcyjny

Bibliografia

• W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, Rozdział III Funkcje zmiennej zespolonej, s. 233-350. ISBN 978-83-01-19359-1