Otwórz menu główne

Spis treści

Ciąg zbiorówciąg, którego elementami są zbiory; dokładniej: podzbiory pewnej przestrzeni. Podobnie jak dla ciągów liczbowych możliwe jest określenie granic dolnej i górnej, a przez to zbieżności.

Jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera się w poprzednim, ciąg nazywa się zstępującym lub nierosnącym; jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera poprzedni, ciąg nazywa się wstępującym bądź niemalejącym; ciąg, który jest zstępujący lub wstępujący (nierosnący lub niemalejący) nazywa się monotonicznym (por. warunki nakładane na łańcuchy, tutaj: podzbiorów).

ZbieżnośćEdytuj

Niech dany będzie ciąg podzbiorów   ustalonego zbioru   nazywanego dalej przestrzenią. Zbiory dane wzorami

 

nazywa się odpowiednio granicą dolną i granicą górną ciągu   jeżeli

 

to ciąg   nazywa się zbieżnym, a zbiór wyznaczony przez tę równość nazywa się granicą tego ciągu i zapisuje  

WłasnościEdytuj

Zamiast napisu   (liczby naturalne bez zera) pod symbolami granic stosuje się również   niżej, dla przejrzystości, oznaczenia   będą pomijane, o ile nie doprowadzi to do nieporozumień.

Dla dowolnego ciągu   następujące warunki są równoważne:

  • ciąg   jest zbieżny do  
     
  • ciąg różnic symetrycznych   oraz   jest zbieżny do zbioru pustego  
     
  • ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów   jest zbieżny punktowo na całej przestrzeni   do funkcji charakterystycznej zbioru  
     

Dodatkowo dla   przebiegającego wszystkie nieskończone podzbiory liczb naturalnych zachodzi

 

z kolei dla   przebiegającego wszystkie podzbiory liczb naturalnych o dopełnieniu skończonym jest

 

a ponadto

 

a więc sprawdzając zbieżność, wygodnie jest niekiedy ograniczyć się do badania  

Element   wtedy i tylko wtedy, gdy   dla nieskończenie wielu wartości  [a]; z kolei   wtedy i tylko wtedy, gdy   dla wszystkich poza skończenie wieloma wartościami  [b]; innymi słowy

 

a ponadto   oraz  [c], gdzie   oznacza dopełnienie zbioru  

Ciąg   nazywa się nierosnącym lub zstępującym, jeżeli   oraz niemalejącym bądź wstępującym, jeżeli   dla każdego   O takich ciągach mówi się zbiorczo: monotoniczne i jako takie są one zbieżne, przy czym jeśli   jest nierosnący (zstępujący), to[d]

 

a jeżeli   jest niemalejący (wstępujący), to[d]

 

ZastosowaniaEdytuj

Niżej   oznacza pewną przestrzeń probabilistyczną (bądź ogólniej: przestrzeń mierzalną z ustaloną miarą), a zbiory   będą zdarzeniami losowymi (albo po prostu zbiorami mierzalnymi).

Granice   oraz   można uważać za „te zdarzenia   które zachodzą nieskończenie często” oraz „te zdarzenia   które w końcu będą zawsze zachodzić”; zawieranie   oznacza więc, że „zdarzenia   które ostatecznie zawsze zajdą, zachodzą nieskończenie często”, skąd granicę   można rozumieć jako żądanie, by „te ze zdarzeń   które zachodzą nieskończenie często, ostatecznie zawsze zachodziły”.

Twierdzenie o ciągłości
Jeżeli ciąg   jest monotoniczny, to prawdopodobieństwo tych ze zdarzeń z   które ostatecznie zajdą jest równe granicy prawdopodobieństw  [e], tzn.
 
Lematy Borela-Cantellego
Korzystając z podanych intuicji lematy Borela-Cantellego, można rozumieć w następujący sposób: „jeżeli suma prawdopodobieństw zdarzeń   jest skończona, to prawie na pewno nie przytrafią się zdarzenia, które zachodzą nieskończenie często, tzn. prawie na pewno zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń  ” oraz „jeżeli suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń   jest nieskończona, to prawie na pewno mają miejsce zdarzenia zachodzące nieskończenie często” (gdzie przez „sumę” rozumie się „sumę nieskończoną”, czyli szereg); przypadkiem szczególnym drugiego z lematów jest twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.
Klasa monotoniczna i λ-układ
Zobacz też: klasa monotonicznaλ-układ.
Klasa monotoniczna to rodzina zdarzeń   która zawiera wszystkie granice ciągów monotonicznych tej rodziny. Każde σ-ciało zdarzeń jest klasą monotoniczną, zaś każde ciało zdarzeń będące klasą monotoniczną jest ich σ-ciałem. λ-układ to z kolei rodzina zdarzeń   do której należy   jeżeli zdarzenie   pociąga   to rodzina zawiera różnicę zdarzeń   oraz   (zdarzenie przeciwne do   względem  ) oraz zawiera granice wstępujących ciągów zdarzeń należących do tej rodziny. Każdy λ-układ będący zarazem π-układem (rodziną zawierającą skończone koniunkcje należących do niej zdarzeń) jest σ-ciałem, o czym mówi lemat o π- i λ-układach.
Twierdzenia Carathéodory’ego i Hahna-Kołmogorowa
Niech   będzie nieujemną i skończenie addytywną funkcją na pewnym ciele   określonym na przestrzeni   (oraz  ). Jeśli zachodzi warunek
gdy   jest ciągiem wstępującym elementów   przy czym   (np. gdy   jest również klasą monotoniczną), wtedy  
to   przedłuża się w jednoznaczny sposób do prawdopodobieństwa   na σ-ciele generowanym przez  
Równoważnie można żądać, by   był ciągiem zstępującym na   oraz   kiedy to  [f] z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi  

W topologii ciągi zbiorów zstępujących służą charakteryzacji metryzowalnych przestrzeni zwartych i metrycznych przestrzeni zupełnych (zob. twierdzenie Cantora o zupełności).

UwagiEdytuj

  1. Otóż z definicji   jest równoważne temu, by dla każdego   zachodziło   co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   istnieje   dla których   to zaś pociąga i jest pociągane przez istnienie takiego podciągu   monotonicznie rozbieżnego do   że   co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy   należy do nieskończenie wielu  
  2. Z definicji wynika, że   jest równoważne istnieniu   spełniającego   co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy   dla  
  3. Z praw de Morgana wynika   drugi przypadek jest analogiczny.
  4. a b Jeśli   jest nierosnący, to   oraz   Wynika stąd, że
     
    Podobnie w przypadku, gdy   jest niemalejący.
  5. Dla ciągu wstępującego   zdarzenia   oraz   dla   wykluczają się, a przy tym   oraz   (tzn. rodzina indeksowana   jest podziałem  ); z przeliczalnej addytywności miary wynika   Przypadek ciągu zstępującego (dla którego  ) wynika z pierwszego na mocy wzorów de Morgana dla ciągu wstępującego   danego wzorem   gdyż  
  6. Jeśli   jest ciągiem zstępującym o pustym przecięciu, to   jest rodziną wstępującą i ze wzorów de Morgana wynika, że   skąd   czyli   Na odwrót, jeżeli   jest ciągiem wstępującym, to   tworzą ciąg zstępujący o pustym przecięciu, zatem   czyli