Ciało algebraicznie domknięte

Ciało algebraicznie domknięte to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w

Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że jest rozszerzeniem algebraicznym wynika, że

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Rozszerzenie ciała które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian nie ma pierwiastków w tym ciele. Domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest jednak ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są oraz ).

Ponieważ dla każdego ciała istnieje jego rozszerzenie będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad należących do jest rozszerzeniem algebraicznym oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywa się „zasadniczym twierdzeniem algebry” i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych i dla dowolnych wielomianów o współczynnikach z ciała następujące warunki są równoważne:

  • układ równań ma rozwiązanie w
  • ideał jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany o współczynnikach z ciała takie, że

Domknięcie algebraiczne ciała Edytuj

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała  

Dla każdego   istnieje jedyne ciało   o   elementach. Na przykład ciało   można reprezentować jako   gdzie  

Dla każdego     wtedy i tylko wtedy, gdy   jest dzielnikiem liczby   Więc dla każdego   można znaleźć skończone ciało   zawierające   i   np ciało   Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał   jest znowu ciałem, które oznaczamy  

Każdy wielomian ze współczynnikami w ciele   ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym   więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała   to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciałem  

Więc ciało   (zbiór nieskończony, ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernychEdytuj

Domknięcie algebraiczne   ciała liczb wymiernych   nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała   nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało   jest przeliczalne, a ciała   i   są nieprzeliczalne. Dowód Cantora, używający metod z zapoczątkowanej przez niego teorii monogości, był nową konstrukcją liczb przestępnych; Liouville w 1844 r. znalazł liczby przestępne używając metody z teorii liczb.

Nieprzywiedlność wielomianówEdytuj

Ciało   jest ciałem algebraicznie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi nieprzywiedlnymi w nim wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego[1].

PrzypisyEdytuj

  1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 311, Wniosek 16.2.

LiteraturaEdytuj