Ciało archimedesowe

ciało uporządkowane w którym spełniony jest aksjomat Archimedesa

Ciało archimedesoweciało uporządkowane spełniające aksjomat Archimedesa, tzn. warunek:

Wizualizacja warunku Archimedesa
[1].

Warunek Archimedesa można wyrazić także na inne równoważne sposoby, takie jak:

  • [1];
  • [1];
  • [1];
  • Dowolny przekrój Dedekinda zbioru uporządkowanego spełnia warunek: [1];
  • Zbiór ułamków ciała jest gęsty w [1].

Przykłady ciał archimedesowychEdytuj

Ciałem archimedesowym jest np. ciało liczb rzeczywistych[2]. Co więcej – jest to największe ciało archimedesowe, tzn. każde ciało archimedesowe jest izomorficzne z pewnym podciałem ciała liczb rzeczywistych[3]. Zatem każde rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych musi być niearchimedesowe; istnieją jednak również niearchimedesowe ciała nie będące rozszerzeniami ciała liczb rzeczywistych[3].

Przykłady ciał niearchimedesowychEdytuj

Ciałem niearchimedesowym jest np. ciało liczb hiperrzeczywistych[2][4][5][6][7]. Istnieją takie liczby hiperrzeczywiste   że nie istnieje taka liczba naturalna   że  [2].

Dowód niearchimedesowości ciała liczb hiperrzeczyywistych

Można poczynić najpierw obserwację, że   co oznacza, że  [6]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to   skąd wynika, że  [6]. Zbiór   należy do ultrafiltru   zatem  [6]. Zatem   co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa[6].  

Jednak ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia zmodyfikowaną wersję aksjomatu Archimedesa, tzn. gdy dopuści się by wartość   przebiegała zbiór liczb hipernaturalnych   to spełniony jest warunek:

 [7][6][2].

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e f Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, ISSN 2080-9751, s. 22.
  2. a b c d Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, ISSN 2080-9751, s. 23.
  3. a b Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, ISSN 2080-9751, s. 24.
  4. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, ISSN 2080-9751, s. 28.
  5. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, ISSN 2080-9751, s. 29.
  6. a b c d e f Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
  7. a b Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 182.