Ciało liczbowe

Ciało liczbowe – każde ciało będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych Innymi słowy, jest to ciało zawierające jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad jest skończony.

Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.

Stopień, reprezentacja regularna, ślad i normaEdytuj

Każde ciało liczbowe   jest przestrzenią liniową nad   które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako   i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała   z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad  

Załóżmy, że   jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad  ) równym   Ponieważ   jest  -wymiarową przestrzenią wektorową nad   to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę   tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element   ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg   taki, że   Reprezentacja regularna elementu   to macierz   która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:

 

Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów   i ich reprezentacji regularnych   zachodzi   tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy   a tylko od elementu   Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego:

 
 

Trywialne wnioski z tych definicji to:

 
 
 
 

gdzie   jest dowolnym elementem   zaś  

Zobacz teżEdytuj