Ciało ułamków

Ciało ułamków pierścienia całkowitego – ciało, konstruowalne dla danego pierścienia całkowitego ${\mathfrak {R}},$ o tej własności, że pierścień ten zanurza się w nim izomorficznie. Innymi słowy, ciało ułamków pierścienia całkowitego ${\mathfrak {R}}$ to pierścień ułamków zdefiniowany względem podzbioru multyplikatywnego ${\mathfrak {R}}\setminus \{0\},$ czyli na dziedzinie całkowitości.

Obiekt ten nazywany jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego lub ciałem ułamków dziedziny całkowitości.

Konstrukcja

Mając daną dziedzinę całkowitości ${\mathfrak {R}},$ konstruuje się ciało ułamków tego pierścienia w następujący sposób. W zbiorze ${\mathfrak {R}}\times ({\mathfrak {R}}\setminus \{0\})$ określa się następującą relację:

$(a,b)\wr (c,d)\Leftrightarrow ad=bc$.

Relacja $\wr$ jest:

• zwrotna, ponieważ: $ab=ba\Rightarrow (a,b)\wr (a,b);$
• symetryczna, ponieważ: $(a,b)\wr (c,d)\Rightarrow ad=bc\Rightarrow cb=da\Rightarrow (c,d)\wr (a,b);$
• przechodnia, ponieważ:

$(a,b)\wr (c,d)\wedge (c,d)\wr (e,f)\Rightarrow ad=bc\wedge cf=de\Rightarrow adf=bcf\wedge bcf=bde\Rightarrow adf=bde{\stackrel {d\neq 0}{\Rightarrow }}af=be\Rightarrow (a,b)\wr (e,f)$.

Zatem jest to relacja równoważności.

Skonstruujmy zbiór ilorazowy (zbiór klas abstrakcji relacji $\wr$) następująco:

${\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}}):=\left({\mathfrak {R}}\times ({\mathfrak {R}}\setminus \{0\})\right)/_{\wr }$,

ze zdefiniowanymi w nim dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji:

$[(a,b)]_{\wr }\oplus [(c,d)]_{\wr }=[(ad+bc,bd)]_{\wr }\qquad [(a,b)]_{\wr }\odot [(c,d)]_{\wr }=[(ac,bd)]_{\wr }$.

Powstała struktura ${\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}}),$ wraz z określonymi na niej działaniami, jest ciałem i nazywana jest ciałem ułamków pierścienia ${\mathfrak {R}}$.

Ułamki

Elementy ciała ułamków pierścienia całkowitego nazywa się ułamkami, a klasę $[(l,m)]_{\wr }$ zapisuje się zwyczajowo jako ${\frac {l}{m}}$, przy czym liczbę $l$ nazywa się licznikiem, a $m$ – mianownikiem.

Zanurzenie izomorficzne

Zdefiniujmy funkcję $\varphi \colon {\mathfrak {R}}\to {\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}})$ następująco:

$\varphi (x):=[(x,{\widetilde {\mathcal {1}}})]_{\wr },$ gdzie ${\widetilde {\mathcal {1}}}$ jest jedynką pierścienia.

Funkcja ta jest izomorficznym zanurzeniem pierścienia ${\mathfrak {R}}$ w ciało ułamków. Umożliwia to utożsamienie elementów dziedziny całkowitości ${\mathfrak {R}}$ z odpowiednimi ułamkami ciała ${\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}})$.

Przykłady

• Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych $\mathbb {Q}$.
• Ciało ułamków pierścienia $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ jest izomorficzne z ciałem $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$.
• Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych Gaussa $\mathbb {Z} [i]$ jest izomorficzne z ciałem Gaussa $\mathbb {Q} (i)$.
• Ciało ułamków pierścienia wielomianów stanowiącego dziedzinę całkowitości jest izomorficzne z ciałem wyrażeń wymiernych.
  • W szczególności, ciało ułamków pierścienia wielomianów rzeczywistych jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych rzeczywistych.
• Ciała ułamków pierścienia wielomianów całkowitych i pierścienia wielomianów wymiernych są izomorficzne.

Twierdzenia

• Jeśli pierścienie całkowite są izomorficzne, to ich ciała ułamków również.
• Ciało ułamków dowolnego ciała $\mathbb {K}$ jest izomorficzne z ciałem $\mathbb {K}$.
• Ciało ułamków niezerowego ideału pierścienia całkowitego ${\mathfrak {R}}$ jest izomorficzne z ciałem ułamków tego pierścienia.
• Ciało ułamków dziedziny całkowitości ${\mathfrak {R}}$ to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało, w które zanurza się pierścień ${\mathfrak {R}}$.