Otwórz menu główne

Ciało ułamków pierścienia całkowitegociało, konstruowalne dla danego pierścienia całkowitego o tej własności, że pierścień ten zanurza się w nim izomorficznie[1][2]. Innymi słowy, ciało ułamków pierścienia całkowitego to pierścień ułamków zdefiniowany względem podzbiorzu multyplikatywnego czyli na dziedzinie całkowitości[3].

Obiekt ten nazywany jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego[1] lub ciałem ułamków dziedziny całkowitości[4].

KonstrukcjaEdytuj

Mając daną dziedzinę całkowitości   konstruuje się ciało ułamków tego pierścienia w następujący sposób. W zbiorze   określa się następującą relację:

 [5][6][7][8][9].

Relacja   jest:

  • zwrotna, ponieważ:  
  • symetryczna, ponieważ:  
  • przechodnia, ponieważ:
 [5][9].

Zatem jest to relacja równoważności[5][7][10][9].

Skonstruujmy zbiór ilorazowy (zbiór klas abstrakcji relacji  ) następująco:

 [11],

ze zdefiniowanymi w nim dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji:

 [11][9][8][12].

Powstała struktura   wraz z określonymi na niej działaniami, jest ciałem[13][14] i nazywana jest ciałem ułamków pierścienia  [15][7][16].

UłamkiEdytuj

Elementy ciała ułamków pierścienia całkowitego nazywa się ułamkami, a klasę   zapisuje się zwyczajowo jako  [9][15][7][8], przy czym liczbę   nazywa się licznikiem, a  mianownikiem[9].

Zanurzenie izomorficzneEdytuj

Zdefiniujmy funkcję   następująco:

  gdzie   jest jedynką pierścienia[13][17][18][9][19].

Funkcja ta jest izomorficznym zanurzeniem pierścienia   w ciało ułamków[13][17][19]. Umożliwia to utożsamienie elementów dziedziny całkowitości   z odpowiednimi ułamkami ciała  [17].

PrzykładyEdytuj

TwierdzeniaEdytuj

  • Jeśli pierścienie całkowite są izomorficzne, to ich ciała ułamków również[30][31].
  • Ciało ułamków dowolnego ciała   jest izomorficzne z ciałem  [32].
  • Ciało ułamków niezerowego ideału pierścienia całkowitego   jest izomorficzne z ciałem ułamków tego pierścienia[33].
  • Ciało ułamków dziedziny całkowitości   to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało, w które zanurza się pierścień  [19].

PrzypisyEdytuj

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 334.
  2. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172–175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  3. a b c WolframMathWorld, Field of Fractions.
  4. a b c Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 195, Definicja 133.
  5. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 334, Twierdzenie 17.1 – Dowód.
  6. a b c Wykład 10 – ciała i pierścienie ilorazowe, s. 1.
  7. a b c d Edupedia, Ciało ułamków.
  8. a b c Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 194, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157.
  9. a b c d e f g h Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 173, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  10. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 195, z. 754.
  11. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 335, Twierdzenie 17.1 – Dowód.
  12. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 196, z. 755.
  13. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 336, Twierdzenie 17.1. – Dowód.
  14. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 197, z. 756.
  15. a b c d Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 336.
  16. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 174, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  17. a b c Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 195, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157.
  18. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 197, z. 757.
  19. a b c Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  20. a b Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.
  21. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 338, Zadanie 17.2.
  22. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 197, z. 768.
  23. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ​ISBN 978-83-01-15817-0​, s. 176, z. 1.
  24. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 338, Zadanie 17.1.
  25. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 292, Zadanie 15.5.
  26. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 197, z. 769.
  27. Pierre Antoine Grillet, Abstract algebra, 2007 s. 124.
  28. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ​ISBN 978-83-01-15817-0​, s. 175, Przykład.
  29. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 195–196, Przykład 110.
  30. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 337, Twierdzenie 17.2.
  31. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 197, z. 766.
  32. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 197, z. 765.
  33. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s. 198, z. 755.