Ciało uporządkowane

ciało z porządkiem zupełnym na jego elementach, który jest zgodny z działaniami w ciele

Ciało uporządkowaneciało w którym wyróżniony jest podzbiór zbiór elementów dodatnich o następujących własnościach:

  1. zbiór jest sumą trzech zbiorów rozłącznych:
  2. zbiór jest zamknięty ze względu na dodawanie:
  3. zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie:

gdzie oraz [1][2].

Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim (większym od zera, oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:

  1. Dla każdego ma miejsce jedna z trzech zależności:
  2. Jeśli i to
  3. Jeśli i to >0[3].
  • zapis oznacza, że [4], a zapis oznacza, że [5].
  • zapis oznacza, że [6].

WłasnościEdytuj

  • Dla każdych dwóch elementów   albo   albo   albo   Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało  
  • Jeśli   i   to  

Dowód:   i   to   czyli   a stąd  

  • Jeśli   i   to  

Dowód:   Dlatego  

  • Jeśli   i   to  

Dowód:   bo jeśli   to   co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli   to   co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego  

  • Jeśli   i   to  
  • Dla każdego niezerowego elementu   ciała   zachodzi nierówność   W szczególności  
  •   czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0.
  • Jeśli   to  

Dowód:   i dlatego  

  • Jeśli   to  

Dowód:  

PrzykładyEdytuj

  • Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane[7].
  • Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
  • Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
    • ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego   znaki liczb   oraz   byłyby identyczne. Tymczasem  
    • dowolne ciało skończone.

Ciała archimedesoweEdytuj

W każdym ciele   charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych   Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu   istnieje taka liczba całkowita   że  [8].

  • Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych   z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne[9].
  • Ciało liczb rzeczywistych   może być uporządkowane tylko w jeden sposób[9].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969, s. 62. (ros.)
  2. W książce E. Artina Algebra geometryczna nie zakłada się przemienności mnożenia w ciele.
  3. ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976, s. 274. (ros.)
  4. Mówimy wtedy, że   jest większy od zera.
  5. Mówimy wtedy, że   jest mniejszy od zera i zapisujemy to  
  6. Mówimy wtedy, że   jest większy od  
  7. E. Artin, op. cit., s. 66–70.
  8. E. Artin, op. cit., s. 70.
  9. a b E. Artin, op. cit., s. 71.

BibliografiaEdytuj

  • ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.)
  • Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.)