Ciało zbiorów

Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina ${\mathcal {F}}$ podzbiorów pewnego niepustego zbioru $X$ spełniająca warunki:

1. zbiór pusty należy do ${\mathcal {F}},$
2. dopełnienie zbioru należącego do ${\mathcal {F}}$ należy do ${\mathcal {F}},$
3. suma dwóch zbiorów należących do ${\mathcal {F}}$ należy do ${\mathcal {F}}.$

Czasami, by podkreślić, że ${\mathcal {F}}$ jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru $X,$ pisze się ciało zbiorów na $X.$

Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykłady

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów $X$ są ciałami na $X{:}$

• rodzina wszystkich podzbiorów zbioru $X$ (zbiór potęgowy),
• rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru $X,$
• rodzina ${\mathcal {F}}_{A}=\{A,X\setminus A,\varnothing ,X\},$ gdzie $A$ jest dowolnym podzbiorem $X,$
• rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone lub ich dopełnienie jest skończone (jest ciałem),
• każde σ-ciało podzbiorów $X$ – na przykład rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.

Jeśli $(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów $X$ tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych).

Niech $(X,\leqslant ^{*})$ będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla $x,y\in X\cup \{\infty \},\,x<^{*}y$ niech $[x,y):=\{z\in X\colon x\leqslant ^{*}z<^{*}y\}.$ (Element $\infty$ jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z $X.$) Niech ${\mathcal {F}}$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów $X$ które mogą być przedstawione jako $[x_{0},y_{0})\cup \ldots \cup [x_{k},y_{k})$ dla pewnych elementów $x_{0},y_{0},\dots ,x_{k},y_{k}\in X\cup \{\infty \}$ spełniających nierówności $x_{0}<^{*}y_{0}<^{*}x_{1}<^{*}y_{1}<^{*}\ldots <^{*}x_{k}<^{*}y_{k},$ $k\in {\mathbb {N} }.$ Wówczas ${\mathcal {F}}$ jest ciałem podzbiorów $X;$ jest to ciało generowane przez przedziały $[x,y)$ dla $x,y\in X\cup \{\infty \}.$

Podstawowe własności

• Każde ciało na $X$ jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
• Przekrój dowolnej rodziny ciał na $X$ jest ciałem zbiorów.
• Dla dowolnej rodziny ${\mathcal {A}}$ podzbiorów zbioru $X$ istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
• Przypuśćmy, że ${\mathcal {F}}$ jest ciałem podzbiorów $X,$ a ${\mathcal {I}}$ jest ideałem podzbiorów $X.$ Wówczas ciało generowane przez ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {I}}$ to rodzina ${\big \{}A{\dot {-}}B:A\in {\mathcal {F}}\ \wedge \ B\in {\mathcal {I}}{\big \}},$ gdzie ${\dot {-}}$ oznacza operację różnicy symetrycznej.
• Pierścień zbiorów $R$ na $X$ jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór $X.$

Ciała jako algebry Boole’a

• Jeśli ${\mathcal {F}}$ jest ciałem zbiorów na $X,$ to $({\mathcal {F}},\cup ,\cap ,{}',\varnothing ,X)$ jest algebrą Boole’a.
• Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a $\mathbb {B}$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na $\mathbb {B}$ (tzw. przestrzeni Stone’a algebry $\mathbb {B}$). Twierdzenie Stone’a nie może być dowiedzione wyłącznie na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1.brak strony w książce
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.brak strony w książce