Otwórz menu główne
Nie mylić z: algebra nad ciałem.

Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina podzbiorów pewnego niepustego zbioru spełniająca warunki:

  1. zbiór pusty należy do
  2. dopełnienie zbioru należącego do należy do
  3. suma dwóch zbiorów należących do należy do

Czasami, by podkreślić, że jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru pisze się ciało zbiorów na

Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykładyEdytuj

Niech   będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów   są ciałami na  

  • rodzina wszystkich podzbiorów zbioru   (zbiór potęgowy),
  • rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru  
  • rodzina   gdzie   jest dowolnym podzbiorem  
  • rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone lub ich dopełnienie jest skończone (jest ciałem),
  • każde σ-ciało podzbiorów   – na przykład rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.

Jeśli   jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów   tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych.)

Niech   będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla   niech   (Element   jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z  ) Niech   będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów   które mogą być przedstawione jako   dla pewnych elementów   spełniających nierówności     Wówczas   jest ciałem podzbiorów   jest to ciało generowane przez przedziały   dla  

Podstawowe własnościEdytuj

  • Każde ciało na   jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
  • Przekrój dowolnej rodziny ciał na   jest ciałem zbiorów.
  • Dla dowolnej rodziny   podzbiorów zbioru   istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
  • Przypuśćmy, że   jest ciałem podzbiorów   a   jest ideałem podzbiorów   Wówczas ciało generowane przez   to rodzina   gdzie   oznacza operację różnicy symetrycznej.
  • Pierścień zbiorów   na   jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór  

Ciała jako algebry Boole’aEdytuj

  • Jeśli   jest ciałem zbiorów na   to   jest algebrą Boole’a.
  • Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a   jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na   (tzw. przestrzeni Stone’a algebry  ). Twierdzenie Stone’a nie może być dowiedzione wyłącznie na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

BibliografiaEdytuj