Cząstka w studni potencjału

Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości $L$ bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla $x<0$ i $x>L$ i zerowy dla $0<x<L.$

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału o szerokości $L$ dla niektórych wartości własnych energii $m.$

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej problem ten jest trywialny: cząstka porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, odbijając się od ścian studni pod kątem odbicia równym co do wartości bezwzględnej kątowi padania.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, rozwiązaniem równania Schrödingera dla tego problemu jest funkcja falowa:

$\psi _{m}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {m\pi x}{L}}\right)}.$

Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne $m,$ a ponadto prawdopodobieństwo $|\psi _{m}(x)|^{2}$ znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną $x$) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty $x=0$ i $x=L$). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.

Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału

W przypadku ruchu w jednowymiarowej studni potencjału bezczasowe równanie Schrödingera może być zapisane jako:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi ,\quad (1)$

gdzie potencjał V(x) jest równy:

$V(x)={\begin{cases}V_{0}&&x\in (-\infty ,-a]&{\text{obszar I}}\\0&&x\in (-a,a)&{\text{obszar II}}\\V_{0}&&x\in [a,\infty )&{\text{obszar III}}\end{cases}}$

Potencjał $V(x)$ jest symetryczny względem inwersji (x → -x (symetria parzystości)) W obszarze II cząstka jest swobodna

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .\quad (2)$

Obszary I i III są klasycznie zabronione $(E<V_{0}),$ ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi .\quad (3)$

W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze $(x<0)$

$\psi =Ae^{\kappa x},$

a w III $(x>L)$

$\psi =De^{-\kappa x}$

z

${\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=(V_{0}-E).\quad (4)$

W obszarze II ma charakter oscylujący

$\psi =(B\sin(kx)+C\cos(kx))$

z

$E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}k^{2}}{2mL^{2}}}.\quad (5)$

Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla $x=-a$ i $x=a.$ Warunki te dają równanie liniowe

${\begin{pmatrix}e^{-a\kappa }&-\cos(ka)&\sin(ka)&0\\\kappa e^{-a\kappa }&-k\sin(ka)&-k\cos(ka)&0\\0&\cos(ak)&\sin(ka)&-e^{-a\kappa }\\0&-k\sin(ka)&k\cos(ka)&\kappa e^{-a\kappa }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}=0$

Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki

$\kappa =-k\operatorname {ctg} (ka),$

$\kappa =k\operatorname {tg} (ka).$

Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: $x=ak$ i $y=a\kappa$ wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

z promieniem

$r={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V_{0}}}.$

Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją: $y=-x\operatorname {ctg} (x)$ lub $y=x\operatorname {tg} (x).$ W zależności od promienia $r$ (lub wysokości studni $V_{0}$) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z: $-x_{0}$ i $+x_{0}$ o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)). Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).

Zobacz też

• cząstka w pudle potencjału
• studnia kwantowa