Częściowy porządek

Częściowy porządek lub krótko porządek – relacja zwrotna, przechodnia i (słabo) antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.

Zbiór podzbiorów {x,y,z}, uporządkowany przez inkluzję

Liczby naturalne częściowo uporządkowane relacją podzielności

Krata podgrup czwartej grupy diedralnej

Jeśli $X$ jest zbiorem, a $\leqslant$ częściowym porządkiem na $X$, to para uporządkowana $(X,\leqslant )$ bywa znana jako poset, z ang. partially ordered set – zbiór częściowo uporządkowany. Ta nazwa występuje zwłaszcza w matematyce dyskretnej.

Ostre i słabe porządki

Słabymi porządkami częściowymi nazywane są relacje zwrotne, przechodnie i antysymetryczne, z kolei ostre porządki częściowe to relacje przeciwzwrotne i przechodnie (relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest zarazem asymetryczna). Porządki ostre i słabe są blisko związane w tym sensie, że łatwo jest zamienić relację jednego typu na relację drugiego typu.

Przypuśćmy, że $\preccurlyeq$ jest (słabym) porządkiem częściowym na zbiorze $X.$ Wówczas relacja $\prec$ na $X$ zdefiniowana przez

$x\prec y\iff x\preccurlyeq y\land x\neq y$

jest ostrym porządkiem częściowym.

I na odwrót, jeśli $\prec$ jest ostrym porządkiem częściowym na zbiorze $X,$ to relacja $\preccurlyeq$ na $X$ zdefiniowana przez

$x\preccurlyeq y\iff x\prec y\lor x=y$

jest (słabym) porządkiem częściowym.

Oznaczenia

Często w tekstach matematycznych używamy zarówno słabej, jak i silnej wersji porządku, którym się interesujemy. Zwyczajowo używamy wtedy oznaczeń takich, aby wersja słaba była oznaczana symbolem zawierającym znak równości (np. $\leqslant ,\sqsubseteq ,\subseteq ,\preccurlyeq$), a wersja silna była oznaczona symbolem bez tego znaku (np. $<,\sqsubset ,\subset ,\prec$).

Należy mieć jednak na uwadze, że zwyczaj taki nie wykształcił się względem zawierania zbiorów, gdzie symbol $\subset$ oznaczać może zawieranie właściwe lub niewłaściwe (relację silną lub słabą). W celu uniknięcia nieporozumień stosuje się więc często symbole $\subseteq$ oraz $\varsubsetneq$ odpowiednio dla relacji słabej i silnej.

Przykłady

• Szczególnym przypadkiem częściowego porządku jest porządek liniowy, w szczególności: naturalny porządek na liczbach rzeczywistych jest porządkiem częściowym.
• Relacja $\preccurlyeq$ określona w zbiorze liczb zespolonych:

  $a+bi\preccurlyeq c+di\iff a\leqslant c\land b\leqslant d$

jest częściowym porządkiem. Nie jest to jednak porządek liniowy.

• Relacja podzbiorów określona na dowolnej rodzinie podzbiorów ustalonego zbioru jest częściowym porządkiem.
• Każdy praporządek $R$ wyznacza porządek częściowy po utożsamieniu elementów $x,y$ takich że $x\;R\;y$ i $y\;R\;x;$ proces ten można nazwać redukcją praporządku do porządku.

Zobacz też

• funkcja monotoniczna
• pojęcie forsingu