Otwórz menu główne

Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i (słabo) antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.

W matematyce dyskretnej, para gdzie jest zbiorem, a relacją częściowego porządku określoną na bywa nazywana posetem (z ang. partially ordered set – zbiór częściowo uporządkowany).

Ostre i słabe porządkiEdytuj

Słabymi porządkami częściowymi nazywane są relacje zwrotne, przechodnie i antysymetryczne, z kolei ostre porządki częściowe to relacje przeciwzwrotne i przechodnie (relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest zarazem asymetryczna). Porządki ostre i słabe są blisko związane w tym sensie, że łatwo jest zamienić relację jednego typu na relację drugiego typu.

Przypuścmy, że   jest (słabym) porządkiem częściowym na zbiorze   Wówczas relacja   na   zdefiniowana przez

 

jest ostrym porządkiem częściowym.

I na odwrót, jeśli   jest ostrym porządkiem częściowym na zbiorze   to relacja   na   zdefiniowana przez

 

jest (słabym) porządkiem częściowym.

OznaczeniaEdytuj

Często w tekstach matematycznych używamy zarówno słabej, jak i silnej wersji porządku, którym się interesujemy. Zwyczajowo używamy wtedy oznaczeń takich, aby wersja słaba była oznaczana symbolem zawierającym znak równości (np.  ), a wersja silna była oznaczona symbolem bez tego znaku (np.  ).

Należy mieć jednak na uwadze, że zwyczaj taki nie wykształcił się względem inkluzji zbiorów, gdzie symbol   oznaczać może zawieranie właściwe lub niewłaściwe (relację silną lub słabą). W celu uniknięcia nieporozumień stosuje się więc często symbole   oraz   odpowiednio dla relacji słabej i silnej.

PrzykładyEdytuj

 
Zbiór podzbiorów {x,y,z}, uporządkowany przez inkluzję
  • Szczególnym przypadkiem częściowego porządku jest porządek liniowy, w szczególności: naturalny porządek na liczbach rzeczywistych jest porządkiem częściowym.
  • Relacja   określona w zbiorze liczb zespolonych:
     
jest częściowym porządkiem. Nie jest to jednak porządek liniowy.
  • Relacja podzbiorów określona na dowolnej rodzinie podzbiorów ustalonego zbioru jest częściowym porządkiem.
  • Każdy praporządek   wyznacza porządek częściowy po utożsamieniu elementów   takich że   i   proces ten można nazwać redukcją praporządku do porządku.

Zobacz teżEdytuj