Otwórz menu główne
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Spis treści

Definicja 4-wektora kontrawariantnegoEdytuj

Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów   oraz   mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą byś ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator   porusza się względem obserwatora   z prędkością   w kierunku osi   to związki te zadane są przez transformację Lorentza:

 
 
 
 

gdzie:

  •   – wyniki pomiarów obserwatora  
  •   – wyniki pomiarów obserwatora  
  •  
  •   – prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).

Liczbę   nazywa się współrzędną czasową.

Liczby   nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

 

gdzie   – wektor o współrzędnych przestrzennych.

Definicja 4-wektora kowariantnegoEdytuj

Ponadto definiuje się czterowektor z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj.

  – wektor kowariantny

oraz

 

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

 

gdzie   – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.

Zasada opuszczania wskaźników 4-wektoraEdytuj

Aby otrzymać współrzędne kowariantne 4-wektora, należy pomnożyć współrzędne kontrawariantne przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej (rozważanej np. w Ogólnej Teorii Względności), związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą tensora metrycznego  :

 

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując  

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać (oznaczaną tu symbolem  )

 

Dlatego opuszczanie wskaźnika sprowadza się tu do zmiany znaku przy współrzędnej przestrzennej kontrawariantnej.

Zasada podnoszenia wskaźników 4-wektoraEdytuj

Aby otrzymać współrzędne kontrawariantne 4-wektora, mając współrzędne kowariantne, należy te ostatnie pomnożyć przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą postaci kontrawariantnej tensora metrycznego  :

 

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując  

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny kontrawariantny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać identyczną jak tensor kowariantny (oznaczaną tu symbolem  ), czyli

 

Podnoszenie wskaźnika sprowadza się więc do zmiany znaku przy współrzędnych przestrzennych kowariantnych

 

Długość 4-wektoraEdytuj

Czterowektory są obiektami geometrycznymi. Z tej racji np. ich długość obliczona w różnych układach odniesienia musi dać tę samą wartość. Kwadrat długości 4-wektora wyrażają 3 równoważne wzory:

 
  lub
 

przy czym sumuje się po powtarzających się wskaźnikach, przyjmując  

Pierwszy wzór zapisany bez konwencji sumacyjnej Einsteina ma 4 składowe, a ostatnie dwa zawierają w ogólności po 16 składowych.

W płaskiej czasoprzestrzeni powyższe wzory na kwadrat długości 4-wektora sprowadzają się do postaci

  •  
  •  
  •  

lub

  •  

Z ostatniego wzoru widać, iż długość 4-wektora w czasoprzestrzeni nie wyraża się przez uogólniony wzór na długość wektora znany z geometrii Euklidesowej (w którym mielibyśmy sumę kwadratów współrzędnych); czasoprzestrzeń jest bowiem przestrzenią pseudoeuklidesową. W szczególności długości 4-wektorów mogą mieć wartości mniejsze od zera.

Klasyfikacja 4-wektorów.Edytuj

Ze względu na długość 4-wektory dzieli się na:

  • czasowe – gdy  
  • zerowe – gdy  
  • przestrzenne – gdy  

Powyższe własności 4-wektorów są niezależne od układu odniesienia, gdyż: dokonując transformacji Lorentza danego 4-wektora do innego układu otrzyma się inne współrzędne, ale jego długość nie zmieni się. Mówi się, że powyższe własności długości 4-wektorów są Lorentzowsko niezmiennicze. Np. 4-wektor czasowy w jednym układzie będzie wektorem czasowym w każdym układzie odniesienia.

Iloczyn skalarny czterowektorówEdytuj

Iloczyn skalarny 4-wektorów definiuje się następująco:

 
  lub
 

Tak zdefiniowany Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza. Gdy  to powyższe wzory sprowadzają się do wzorów na długość 4-wektora, podane wyżej.

Kolejność czasowa zdarzeń. Związki przyczynowo-skutkoweEdytuj

(1) Niezmienniczość podziału 4-wektorów na czasowe, zerowe i przestrzenne pozwala zdefiniować kolejność czasową zdarzeń: jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone interwałem czasoprzestrzennym, który jest czasowy, to można mówić, iż jedno ze zdarzeń jest wcześniejsze niż drugie.

(2) Pozwala to także określać związki przyczynowo-skutkowe: jedynie zdarzenia wcześniejsze mogą wpływać na zdarzenia późniejsze.

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeniEdytuj

Definicja 4-wektora położeniaEdytuj

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach:

  • postać kontrawariantna (o górnych wskaźnikach)
 
  • postać kowariantna (o dolnych wskaźnikach)
 

Współrzędna   – tzw. współrzędna czasowa,   – tzw. współrzędne przestrzenne.

Uwaga:

Współrzędna czasowa 4-wektora położenia ma wymiar długości, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora (jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach x prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr).

Sens fizyczny 4-wektora położeniaEdytuj

Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez cząstkę – zjawisko to zachodzi w chwili   w położeniu   co obserwator   opisuje za pomocą czterowektora  

Własności transformacyjne 4-wektora położeniaEdytuj

Temu samemu zdarzeniu inny obserwator   przypisze własny czterowektor   zawierający wyniki pomiaru czasu i położenia dokonane względem jego układu odniesienia i za pomocą jego własnego zegara. Zespoły liczb otrzymane przez różnych obserwatorów będą na ogół różnić się – jeżeli np. obserwatorzy są w ruchu względem siebie. Jednak wykonując pomiary wielu zdarzeń i porównując je ze sobą, obserwatorzy stwierdzą, że zachodzą między ich wynikami ścisłe zależności. W najprostszym przypadku, gdy obserwator   porusza się względem obserwatora   z prędkością   w kierunku osi   – przy czym   oznacza tu współrzędną wektora prędkości – to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

 
 
 
 

Zapisując współrzędne w postaci   transformacje Lorentza mają bardziej symetryczną postać

 
 
 
 

Aby otrzymać transformację odwrotną, wystarczy do powyższej transformacji podstawić zamiast   symbol   i zamienić symbole primowane z nieprimowanymi:

 
 
 
 

Uwaga: Współrzędne każdego innego 4-wektora poddane transformacji Lorentza muszą dać współrzędne tego 4-wektora w nowym układzie. Nie każdy zespół 4 liczb będzie więc 4-wektorem.

Interwał czasoprzestrzenny zdarzeńEdytuj

DefinicjaEdytuj

Df. Interwałem czasoprzestrzennym zdarzeń nazywa się długość różnicy dwóch czterowektorów, opisujących dwa zdarzenia w czasoprzestrzeni.

Interwał jest analogiem odległości w zwykłej przestrzeni.

Niezmienniczość interwałuEdytuj

Tw. Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Dowód:

(1) Rozważmy dwa zdarzenia   oraz   zachodzące w czasoprzestrzeni, np.   – cząstka mija bramkę,   – następuje eksplozja supernowej. Obserwator   przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

 
 

Różnica czterowektorów jest czterowektorem   którego długość, czyli interwał w płaskiej czasoprzestrzeni wynosi

 

(2) Obserwator   przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

 
 

Obliczając interwał w płaskiej czasoprzestrzeni, otrzyma

 

(3) Ponieważ współrzędne   związane są ze współrzędnymi   za pomocą transformacji Lorentza – i podobnie dla zdarzenia   to podstawiając do ostatniego wzoru te zależności i wykonując proste przekształcenia, otrzyma się wyrażenie identyczne jak dla   tj.

 

Oznacza to, że interwały obliczone dla dowolnych dwóch zdarzeń nie zależą od obserwatora. Mówimy, ze interwały są niezmiennikami transformacji Lorentza.

Niezmienniczość interwału stanowi o własnościach geometrycznych czasoprzestrzeni.

Interwał dla światłaEdytuj

Interwał obliczony dla światła jest zerowy w tym sensie, że:

Jeżeli zdarzenie   polega na emisji światła z danego źródła, a zdarzenie   polega na odbierze tego światła przez jakiś detektor, to

 

gdyż lewa strona równości przedstawia kwadrat drogi przebytej przez światło, a prawa strona przedstawia kwadrat odległości przestrzennej dzielącej źródło i detektor. Przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą, otrzyma się wyrażenie na interwał czasoprzestrzenny. Oznacza to, że interwał dla światła jest zerowy – i własność to jest taka sama dla dowolnego obserwatora.

Uwaga:

Niezmienność interwału wynika de facto z postulatu niezmienniczości prędkości światła względem wszystkich obserwatorów, na którym Einstein w 1905 r. oparł Szczególną Teorię Względności. Transformacja Lorentza, którą w tym artykule zakłada się, jest tego konsekwencją.

Różniczka interwału czasoprzestrzennego zdarzeńEdytuj

(1) Df. Różniczką   interwału czasoprzestrzennego nazywa się interwał obliczony dla dwóch zdarzeń leżących w infinitezymalnej odległości czasoprzestrzennej.

(2) Np. jeżeli mamy dwa zdarzenia opisane 4-wektorami

 
 

to różniczkowy 4-wektor dzielący te zdarzenia wynosi

 

Jego długość oblicza z ogólnego wzoru na długość 4-wektora, tj.

 

Jeżeli współrzędne zdarzenia   oznaczymy symbolami   a przyrosty tych współrzędnych oznaczymy symbolami

 

to różniczka   wyrazi się w zwartej formie wzorem

 

gdzie   – tensor metryczny Minkowskiego w punkcie  

(3) W dowolnie zakrzywionej czasoprzestrzeni różniczka interwału   wyrazi się wzorem

 

gdzie   – tensor metryczny w punkcie  

Czterowektor prędkościEdytuj

DefinicjaEdytuj

Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia cząstki względem interwału czasoprzestrzennego:

 

gdzie:

  •   – różniczka interwału czasoprzestrzennego dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki, dla której definiuje się 4-wektor prędkości,
  •   – różniczka przemieszczenia cząstki w czasoprzestrzeni.

Przy czym zachodzi związek:

 

Aby pokazać, jaki jest sens fizyczny tak przyjętej definicji 4-wektora prędkości należy najpierw zauważyć, że:

Tw. 1:  Edytuj

gdzie   – infinitezymalny upływ czasu własnego, przy czym   – tzw. czas własny cząstki, czyli czas mierzony w układzie, w którym cząstka (przynajmniej chwilowo) jest w spoczynku. Powyższy wzór oznacza, że:

Różniczka interwału   dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki jest proporcjonalna do upływu czasu własnego cząstki   tj. czasu, jaki dzieli te zdarzenia, zamierzonego zegarem poruszającym się z cząstką.

Dowód:

W układzie, w którym cząstka spoczywa, jej przemieszczenia przestrzenne są zerowe, tj.   Oznaczając upływ czasu w układzie cząstki symbolem   i podstawiając to do wzoru na interwał liczony w układzie cząstki, otrzyma się szukany wzór:

  cnd.

Tw. 2:  Edytuj

– infinitezymalny upływ czasu   mierzony w układzie, w którym cząstka ma prędkość przestrzenną   jest większy o czynnik   od upływu czasu w układzie cząstki (przy czym   jest istotnie większa od 1 dla dużych prędkości  ).

Dowód:

Z transformacji Lorentza, napisanej dla różniczek przemieszczeń i czasu mamy

 

gdzie przyjęto oznaczenie   Przemieszczenia cząstki w układzie jej czasu własnego jest zerowe, tj.   Stąd otrzymamy wzór (równoważny w sposób trywialny tezie twierdzenia)

  cnd.

Ostatecznie z Tw. 1 oraz Tw. 2 mamy:

Między upływem czasu własnego cząstki, upływem czasu w układzie spoczynkowym oraz różniczką interwału dla zdarzeń na linii świata cząstki zachodzą zależności:

 

Wzory te pozwalają znaleźć postać 4-wektora prędkości, zależną w jawny sposób od prędkości cząstki, co pokazano niżej.

Elementy przestrzenne 4-wektora prędkościEdytuj

 

gdzie:   oraz   – współrzędne wektora prędkości cząstki w przestrzeni   takie że:

  •  
  •  
  •  

Element czasowy 4-wektora prędkościEdytuj

 

Jawna postać 4-wektora prędkościEdytuj

Na podstawie powyższych wzorów czterowektor prędkości można zapisać w postaci jawnie zależnej od prędkości   cząstki

 

Tw. 3: Długość czterowektora prędkości wynosi 1.Edytuj

Dowód: Pisząc równość   i dzieląc ją obustronnie przez   otrzyma się

 

Korzystając z definicji czterowektora prędkości, otrzymuje się

 

lub równoważnie – po opuszczeniu jednego wskaźnika

 

Powyższe dwa wzory przedstawiają po prawych stronach wyrażenia na długość 4-wektora prędkości, która wg lewych stron tych równości wynosi 1, cdn.

Uwaga 1: Czterowektor prędkości jest bezwymiarowy – nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Dla światła nie można zdefiniować czterowektora prędkości, gdyż: a) Wartość interwału czasoprzestrzennego dla światła jest zawsze równa zeru – w definicji 4-wektora prędkości mielibyśmy zero w mianowniku b). Podstawiając do wzoru na   wartość   uzyska się symbol nieoznaczony.

Uwaga 3: Dla światła nie można dokonać transformacji Lorentza do układu poruszającego się z prędkością światła – wtedy bowiem otrzymuje się zera w mianownikach symbolu  

Uwaga 4: Układ odniesienia związany ze światłem jest w pewnym sensie wyróżniony, bowiem w każdym innym układzie odniesienia prędkość sygnału świetlnego w próżni jest taka sama – niezależnie od tego, z jak wielką prędkością układ ten porusza się np. w stronę źródła światła (co jest wbrew klasycznej fizyce, wg której obserwator w takim układzie mierzyłby prędkość światła większą niż c).

Uwaga 5: Upływ czasu mierzy się w teorii względności za pomocą sygnałów świetlnych. Czy da się zmierzyć upływu czasu w układzie poruszającym się z prędkością światła? Przekształcając wzór   otrzyma się

 

– wzór ten przedstawia upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością   gdy w układzie spoczywającym upływa czas   Podstawiając do tego wzoru   otrzyma się   – dla światła czas nie płynie.

Uwaga 6: Długość (norma) 4-wektora prędkości obliczona w czasoprzestrzeni Minkowskiego zależy od przyjętej sygnatury tensora metrycznego. W tym artykule przyjęto sygnaturę (+,---) – wtedy długość wynosi 1. Jeżeli przyjąć sygnaturę (-,+++), to długość wyniesie   bo wtedy  

Uwaga 7: Jeżeli cząstka pozostaje w spoczynku, tzn.   – wtedy jej 4-wektor prędkości ma postać   czyli jest równoległy do współrzędnej czasowej, której wartość wynosi   (bo  ). Oznacza to, że:

Cząstka porusza się w czasoprzestrzeni (wzdłuż linii prostej, równoległej do osi czasowej), mimo że spoczywa w przestrzeni. W czasoprzestrzeni nie istnieje stan spoczynku.

Czteroprędkość jako wektor styczny do trajektorii cząstkiEdytuj

Geometrycznie czteroprędkość jest wektorem stycznym do linii świata cząstki (unormowanym do 1 lub -1).

Uzasadnienie:

Linia świata cząstki jest definiowana jako krzywa w czasoprzestrzeni (przestrzeni 4-wymiarowej), którą kreśli poruszająca się cząstka; jak każdą krzywą linię świata można zapisać w postaci parametrycznej, tj. podając zależności współrzędnych wektora wodzącego   punktów krzywej od parametru, np. od interwału   czyli

 

Pochodna wektora wodzącego po parametrze jest wektorem stycznym do krzywej, czyli

 

Wektor ten jest tożsamy z wcześniej zdefiniowanym 4-wektorem   nazwanym 4-wektorem prędkości cząstki. Jak pokazaliśmy, długość tego wektora wynosi 1 (lub -1 dla sygnatury (-+++)).

Czterowektor pęduEdytuj

DefinicjaEdytuj

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała nazywa się iloczyn 4-wektora prędkości   ciała przez  

 

gdzie:  masa spoczynkowa cząstki. Wykorzystując wzór  otrzymamy

 

Długość 4-wektora pęduEdytuj

Korzystając z ogólnego wzoru na długość dowolnego 4-wektora, kwadrat długości 4-wektora pędu przyjmie postać

 

Podstawiając  otrzymamy

 

Widać, że długość 4-wektora pędu jest stałą liczbą   czyli nie zależny od układu współrzędnych, w którym się ja oblicza.

Uwaga: Do fotonów nie stosuje się transformacja Lorentza oraz fotony mają zerową masę spoczynkową, dlatego powyższej definicji 4-pędu nie można zastosować do fotonów.

Wyrażenie 4-pędu przez energię i pęd ciałaEdytuj

Eenergię całkowitą ciała i 3-wektor pędu ciała definiuje się następująco

 
 

Podstawiając powyższe wielkości do definicji 4-wektora pędu otrzyma się równoważną postać

 

Składowymi czterowektora pędu są energia i pęd cząstki – dlatego wektor ten nazywa się też 4-wektorem energii-pędu:

a) współrzędna czasowa jest równa energii cząstki podzielonej przez prędkość światła

 

b) współrzędne przestrzenne są składowymi 3-wektora pędu cząstki

 

gdzie:   – tzw. masa relatywistyczna cząstki.

Uwaga: 3-wektor pędu (pęd relatywistyczny) jest iloczynem masy relatywistycznej i prędkości cząstki.

Związek między energią, pędem i masąEdytuj

Obliczając długość 4-wektora pędu zapisanego w postaci  i porównując otrzymaną wielkość z wyrażeniem  otrzyma się zależność

 

czyli

 

Powyższe wzór na energię relatywistyczną cząstki stanowi podstawę do konstrukcji równań mechaniki kwantowej relatywistycznie niezmienniczych - równania Kleina-Gordona (opisującego cząstki bez spinu) i równania Diraca (opisującego elektrony, pozytony i inne fermiony o spinie 1/2).

Czterowektor siłyEdytuj

DefinicjaEdytuj

Czterowektorem siły nazywa się pochodną czteropędu względem interwału czasoprzestrzennego:

 

lub równoważnie – korzystając ze wzoru  

 

Współrzędne przestrzenne czterowektora siłyEdytuj

Część przestrzenna czterowektora siły ma więc postać

 

Powyższy wzór można przekształcić, wprowadzając 3-wektor siły w postaci

 

- identyczny wzór podał już Newton, formułując II zasadę dynamiki; Einstein zmodyfikował newtonowski wzór na pęd, zastępując iloczyn masy i prędkości wyrażeniem  .

Ponieważ   to   przyjmie postać

 

Oznacza to, że: składowa przestrzenna 4-siły jest proporcjonalna do 3-wektora siły.

Współrzędna czasowa czterowektora siłyEdytuj

Różniczkujemy wyrażenie na długość 4-wektora prędkości po interwale czasoprzestrzennym

 

co daje

 

Korzystając z faktu, że tensor metryczny   jest symetryczny, otrzyma się

 

Mnożąc powyższe wyrażenie przez   i podstawiając   otrzyma się

 

Korzystając z definicji czterowektora siły   otrzyma się

 

lub równoważnie (po opuszczeniu wskaźnika)

 

czyli

 

(gdzie sumowanie przeprowadza się po  ). Wyznaczając część czasową czterowektora siły, otrzyma się

 

Wyrażenie czterowektora siły przez pęd, energię i siłęEdytuj

Wykorzystując otrzymane wzory na   i   czterowektor siły zapiszemy w postaci

 

Widać stad, że czterowektor siły wyraża się przez prędkość, pęd i energię cząstki oraz siłę działającą na cząstkę.

Czterowektor falowyEdytuj

(1) Czterowektor falowy – to czterowektor przypisany fali świetlnej lub fali materii poruszającej się w kierunku   (gdzie  wektor falowy fali), o częstotliwości  

 

(2) Kwadrat długości tego 4-wektora wynosi

 

(3) Jeżeli rozważaną falą jest fala materii, to słuszne są zależności podane przez de Broglie'a pomiędzy częstotliwością fali i jej wektorem falowym, a energią cząstki i jej pędem

 
 

gdzie  - stała Plancka podzielona przez  .

Czterowektor  wyrażony przez  przyjmie postać

 

lub

 

Korzystając ze wzoru na długość 4-wektora pędu otrzymamy

 

gdzie  - masa cząstki.

Czterowektor gęstości prąduEdytuj

Czterowektor gęstości prądu – to czterowektor przypisany prądowi elektrycznemu (składowa czasowa jest relatywistyczną gęstością ładunku   pomnożoną przez prędkość światła; składowa przestrzenna jest wektorem gęstości prądu elektrycznego  )

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

W języku polskim:

  • L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009 (klasyczny podręcznik).
  • K Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.

W języku angielskim:

  • Wolfgang Rindler, Introduction to Special Relativity (2nd edn.), wyd. 2nd ed, Oxford [England]: Clarendon Press Oxford, 1991, ISBN 0-19-853952-5, OCLC 22490653.
  • D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.
  • D.J. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, WILEY-VCH, Veinhein 2008.