Czworościan

Czworościan – wielościan o czterech trójkątnych ścianach, równoważnie definiowany jako ostrosłup trójkątny. Każda taka bryła ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki.

Przykład czworościanu

Inny przykład czworościanu

Szczególne przypadki (odmiany) czworościanów to:

• ostrosłup trójkątny prawidłowy – co najmniej jedna ze ścian to trójkąt równoboczny, a pozostałe są równoramienne;
• czworościan foremny – szczególny przypadek powyższego, w którym wszystkie ściany są równoboczne.

Uogólnieniem czworościanu jest sympleks – czworościan to jego przypadek trójwymiarowy.

Wzory

Objętość

Jeśli czworościan – niekoniecznie foremny – ma wierzchołki $A_{1},\ A_{2},\ A_{3},\ A_{4},$ to jego objętość jest dana wzorem:

$V={\sqrt {\frac {\Delta }{288}}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\Delta$ to wartość wyznacznika:

$\Delta ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{vmatrix}},$

$a_{ij}$ to długość krawędzi łączącej wierzchołek $A_{i}$ z wierzchołkiem $A_{j}.$

Promień sfery opisanej

Jest opisany wzorem:

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\Gamma }{\Delta }}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\Gamma$ to

$\Gamma ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.$

Promień sfery wpisanej

Można go obliczyć wzorem:

$r={\frac {3V}{S_{A_{1}}+S_{A_{2}}+S_{A_{3}}+S_{A_{4}}}},$

gdzie $S_{A_{i}}$ to pole ściany niezawierającej wierzchołka $A_{i}.$

Inne własności

Przykładowe przekroje czworościanu z płaszczyznami – zacieniowane trójkąty

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli $A_{1}$ i $A_{2},$ $B_{1}$ i $B_{2}$ oraz $C_{1}$ i $C_{2}$ są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów $SA_{1}B_{1}C_{1}$ i $SA_{2}B_{2}C_{2}$ spełniają zależność:

${\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {SA_{1}}{SA_{2}}}{\frac {SB_{1}}{SB_{2}}}{\frac {SC_{1}}{SC_{2}}}.$

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: $S=ab\sin \alpha .$

Linki zewnętrzne

• MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (6): Czworościany ortocentryczne, „Delta”, styczeń 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (12): Czworościany równościenne – część 1, „Delta”, kwiecień 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (13): Czworościany równościenne – część 2, „Delta”, październik 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Heron uogólniony?, „Delta”, marzec 2014, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).