Czworościan

wielościan o 4 ścianach

Czworościanostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach[1]. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki[a]. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Czworościan foremny
Siatka czworościanu foremnego
Dwie możliwe siatki czworościanu foremnego

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

WzoryEdytuj

 
Animacja obrotu czworościanu foremnego w przestrzeni 3D
 
Animacja obrotu czworościanu foremnego

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach   dana jest wzorem:

 

gdzie zmienna pomocnicza   to wyznacznik

 

  to długość krawędzi łączącej wierzchołek   z wierzchołkiem  

Promień kuli opisanej na czworościanie:

 

gdzie zmienna pomocnicza   to

 

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

 

gdzie   to pole ściany niezawierającej wierzchołka  

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli   i     i   oraz   i   są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów   i   spełniają zależność[2]:

 

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru:  

UwagiEdytuj

  1. Jest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach: χ = WK + S = 4 – 6 + 4 = 2.

PrzypisyEdytuj

  1. czworościan, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
  2. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Tetrahedron, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).