Czworościan foremny
Czworościan foremny a. tetraedr (z gr.)[1] – czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu mają postać (1, 1, 1), (−1, −1, 1), (−1, 1, −1) i (1, −1, −1).




Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula, a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny.
Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni[a]. Ścinając wszystkie wierzchołki czworościanu w 1/3 długości krawędzi, uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty.
Wzory i własności
edytujW poniższych wzorach oznacza długość krawędzi czworościanu foremnego.
Pole powierzchni całkowitej:
Wysokość, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:
Miara kąta nachylenia krawędzi do ściany, w której krawędź się nie zawiera:
Promień kuli opisanej:
Promień kuli wpisanej:
Promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu:
Zależności między promieniami
- [b],
Miara kąta między ścianami:
Czworościan foremny ma:
- 6 płaszczyzn symetrii, każda z nich przechodzi przez jedną z jego krawędzi i środek przeciwległej krawędzi,
- 3 osie symetrii, każda z nich przechodzi przez środki przeciwległych krawędzi,
- 4 osie obrotu, każda z nich przechodzi przez wierzchołek czworościanu i środek przeciwległej ściany.
Zobacz też
edytujUwagi
edytuj- ↑ Arystoteles błędnie sądził, że wystarczą czworościany.
- ↑ Wzory te są 3-wymiarową kontynuacją wzorów dla trójkąta równobocznego, w których promień okręgu opisanego jest jego wysokości a promień okręgu wpisanego jest jego wysokości, patrz ogólna zależność dla sympleksów.
Przypisy
edytuj- ↑ tetraedr, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
Linki zewnętrzne
edytuj- Michał Kieza , Kącik przestrzenny (10): Trzy rozwiązania pewnego zadania, „Delta”, grudzień 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
- Eric W. Weisstein , Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].