Otwórz menu główne

Diagram Arganda jest sposobem geometrycznego przedstawienia liczby zespolonej na płaszczyźnie. Liczbie zespolonej odpowiada w nim punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Początek układu współrzędnych odpowiada liczbie zero, a oś odciętych – zbiorowi liczb rzeczywistych. Diagram Arganda został po raz pierwszy zastosowany przez matematyka duńskiego Caspara Wessela w 1797 roku, lecz jego dzieło zostało odkryte dopiero po upływie 100 lat, w 1897 roku, gdy Duńska Akademia Nauk wydała jego francuski przekład[1]. W roku 1807 Szwajcar Robert Argand opublikował pracę Próba pewnego sposobu przedstawienia wielkości urojonych w konstrukcjach geometrycznych[2], w której zinterpretował same liczby i oba działania na nich (dodawanie i mnożenie). Książka Arganda, wydana anonimowo, stała się znana po publikacji jej przez Josepha Blaise Gergonne’a w Rocznikach matematyki czystej i stosowanej[3]. Tamże została opublikowana żywa dyskusja na temat interpretacji wielkości urojonych[4]. Pierwszym matematykiem, który posługiwał się diagramem we właściwy sposób był Carl Friedrich Gauss w dysertacji z 1799 roku.

Praca WesselaEdytuj

Wessel nie zajmował się subtelnościami w rodzaju pytań o równość odcinków skierowanych (wektorów) na płaszczyźnie, a dla dodawania i mnożenia sprawdzał tylko poszczególne prawa rachunku. Wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem   oznaczał przez   i znalazł następujące wyniki[5]:

 
Jednostki podstawowe Wessela
         
         
         
         
         


Na tej podstawie wnioskował, że   Następnie odcinkowi skierowanemu przyporządkował liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej   Na tak określonych liczbach zespolonych rozważał wszystkie działania i udowodnił wzór de Moivre’a (również dla wykładnika ułamkowego) oraz rozwiązał wiele zadań o trójkątach sferycznych.

Diagram Arganda – ujęcie formalneEdytuj

Wystarczy określić mnożenie.

Ponieważ

 

więc

 
 

czyli liczbę zespoloną   można identyfikować z liczbą rzeczywistą i wtedy

 

Zatem   i  

Wtedy

 

Diagram Arganda w ujęciu H.S.M. Coxetera[6]Edytuj

 
Suma liczb zespolonych

Punkty na płaszczyźnie dodaje się tak, jak odpowiadające im wektory wychodzące z początku układu (czyli zera):

 

Innymi słowy, aby dodać   stosujemy przesunięcie przekształcające punkt   w punkt  

 
Mnożenie liczby zespolonej przez liczbę całkowitą

Mnożenie punktu przez liczbę rzeczywistą jest jednokładnością. Na przykład:

 
 
 
 

Mnożenie przez   jest półobrotem wokół punktu   Dlatego mnożenie przez pierwiastek kwadratowy z   jest takim przekształceniem, którego kwadrat (czyli złożenie przekształcenia z samym sobą) jest półobrotem wokół punktu   czyli ćwierćobrót wokół punktu   (czyli obrót o kąt prosty)[7].

 
Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne kartezjańskie
 
Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne biegunowe

Wobec tego mnożenie przez dowolną liczbę zespoloną powinno być przekształceniem, dla którego punkt   jest punktem stałym i które zawiera zarówno jednokładności o środku w   jak i obroty dokoła   jako przypadki szczególne. Mnożenie dowolnego punktu   przez ustalony punkt   definiuje się jako podobieństwo spiralne o środku   które przeprowadza punkt   w punkt  [8]. Jeżeli punkty   i   mają współrzędne biegunowe odpowiednio   i   czyli

 

Wówczas podobieństwo spiralne, w którym mnoży się   przez   i dodaje   do   przekształca współrzędne

 

na współrzędne

 
 

Stąd wzór

 

PrzypisyEdytuj

  1. Caspar Wessel: Essai sur la représentation analytique de la direction, avec applications etc. 1897.
  2. Jean Robert Argand: Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géometriqués. Paris: 1806.
  3. „Annales de mathématiques pures et appliquées”. 4, 1813/14. Joseph Blaise Gergonne. 
  4. Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977, s. 71.
  5. Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977, s. 70–71.
  6. Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej (tłum. z jęz. ang.). Warszawa: PWN, 1967, s. 156–158.
  7. Hardy G.H.: Pure Mathematics. Wyd. 10. London: 1955, s. 83.
  8. Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis. Wyd. 3. Berlin: 1928, s. 57.

BibliografiaEdytuj

  • Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej (tłum. z jęz. ang.). Warszawa: PWN, 1967.
  • Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis. Wyd. 3. Berlin: 1928.
  • Hardy G.H.: Pure Mathematics. Wyd. 10. London: 1955.
  • Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977.
  • Birkhoff G., Mac Lane S.: Przegląd algebry współczesnej (tłum. z jęz. ang.). Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1966.