Dodawanie macierzy

Dodawanie macierzy – działanie dwuargumentowe w zbiorze macierzy $M_{m\times n}$ o ustalonych wymiarach $m\times n,$ które elementowi o współrzędnych $i,j$ wynikowej macierzy $C$ przypisuje sumę elementów macierzy $A$ i $B$ o tych samych współrzędnych $i,j{:}$

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.$

Symbolicznie można to zapisać:

$A+B=(a_{ij}+b_{ij})\iff (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.$

Jeśli elementy macierzy należą do pewnej grupy abelowej, to zbiór macierzy o tych samych wymiarach z działaniem dodawania tworzy grupę abelową.

Zgodnie z definicją, aby dodać dwie macierze, dodaje się do siebie elementy o tych samych współrzędnych:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\ldots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\ldots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}$

W analogiczny sposób odejmuje się macierze.

Przykłady

• suma i różnica dwóch macierzy stopnia $2\times 3$ o wyrazach rzeczywistych:

${\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2{,}5&4&14\\4&-2&16\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{,}1&0&-8\\-2&6&2\end{bmatrix}}$

• suma dwóch macierzy $3\times 2$ o wyrazach z ciała $\mathbb {Z} _{7}$:

${\begin{bmatrix}3&2\\5&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&2\\3&4\\3&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&4\\1&6\\6&0\end{bmatrix}}$

(Informacje o ciele $\mathbb {Z} _{7}$ można znaleźć w tym artykule.)

• Suma macierzy

$A={\begin{bmatrix}2&4\\3&2\\6&-5\end{bmatrix}}$ oraz $B={\begin{bmatrix}1&2&4\\5&5&0\\2&7&-1\end{bmatrix}}$

nie istnieje, gdyż macierze $A$ i $B$ mają różne wymiary.

Zobacz też

• mnożenie macierzy
• potęgowanie macierzy