Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny topologii. Zobacz też: inne znaczenia tego wyrazu.

Domknięcie – operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru   nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany   lub   (od ang. closure), zawierający   Innymi słowy:

 

UwagiiEdytuj

  • Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
  • W dowolnym zbiorze   można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
  • Jeśli   jest przestrzenią topologiczną oraz   to następujące warunki są równoważne:
    1.  
    2. dla każdej bazy otoczeń   punktu   i każdego   mamy  
    3. dla pewnej bazy otoczeń   punktu   i każdego   mamy  
  • Jeśli   jest przestrzenią metryczną oraz   to
  gdzie przez   rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn.   Oznacza to, że zbiór   składa się z tych   dla których istnieje ciąg   elementów zbioru   zbieżny do  
  • Jeżeli   jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz   jest podzbiorem zbioru   to punkt z przestrzeni   jest punktem domknięcia zbioru   wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru   W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
  • Dla dowolnej przestrzeni topologicznej   punkt należy do domknięcia zbioru   wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru  

WłasnościEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną oraz   Wówczas:

  •  
  •  
  •  
  •   (idempotentność).

Dalsze własnościEdytuj

  •  
  •   jest domknięty  
  •   (monotoniczność),
  •   ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
    • Ogólniej, jeśli   jest dowolną rodziną podzbiorów   to
       
  • Jeśli   jest rodziną podzbiorów zbioru   to
     
  • Jeśli   jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru   to
     
  • Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
  • Jeśli   jest podprzestrzenią topologiczną   zawierającą   to domknięcie   w przestrzeni   jest równe części wspólnej   i domknięcia   w przestrzeni    
  • Dla każdego   mamy:  

Operacja domknięcia a topologiaEdytuj

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze  [1].

PrzykładyEdytuj

  • W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są   i  ), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
  • W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
  • W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 36.

BibliografiaEdytuj