Duże liczby kardynalne

Duże liczby kardynalneliczby kardynalne, których istnienia nie można udowodnić na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZFC), i ponadto takie, dla których niesprzeczność istnienia nie wynika z niesprzeczności ZFC, a jednocześnie można wykazać niesprzeczność nieistnienia tych liczb.

Ściśle mówiąc, rozważa się różne własności liczb kardynalnych (i duże liczby to liczby kardynalne mające pewne z tych własności). Postulaty, że istnieją liczby kardynalne spełniające określonego rodzaju własności dużych liczb, noszą wspólną nazwę aksjomatów dużych liczb.

Hierarchia niesprzecznościEdytuj

Cechą definiującą własności dużych liczb kardynalnych jest to, że nie można udowodnić, że niesprzeczność ZFC implikuje niesprzeczność istnienia liczby z odpowiednią własnością. Wyjaśnijmy to na przykładzie liczb nieosiągalnych. Zauważmy najpierw, że (w ZFC), jeśli   jest liczbą silnie nieosiągalną, to Vκ jest modelem ZFC. Niech I będzie zdaniem istnieje liczba silnie nieosiągalna. Na podstawie poprzedniego stwierdzenia:

(*) w ZFC+I można udowodnić że istnieje model dla ZFC, a więc
(**) w ZFC+I można udowodnić że ZFC jest niesprzeczne.

Przypuśćmy teraz nie wprost, że wykazaliśmy, iż:

(!) jeśli ZFC jest niesprzeczne, to także ZFC+I jest niesprzeczne.

Zakładając rzecz jasna, że „ZFC jest niesprzeczne”, wiemy iż także „ZFC+I jest niesprzeczne”. Używając stwierdzenia (**) możemy teraz zaargumentować, że zdanie „ZFC+I jest niesprzeczne” jest dowodliwe w ZFC+I. To z kolei przeczy drugiemu twierdzeniu Gödla o niezupełności.

Z drugiej strony, jeśli istnieją liczby nieosiągalne i   jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZF jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.

Większość własności dużych liczb kardynalnych tworzy ciąg liniowo uporządkowany ze względu na „siłę niesprzeczności istnienia danej liczby”. Można to sformalizować następująco. Dla danych własności   i   dużych liczb, dokładnie jedno z następujących stwierdzeń jest prawdziwe:

  • W ZFC można udowodnić, że:
ZFC+  jest niesprzeczne” wtedy i tylko wtedy gdy „ZFC+  jest niesprzeczne”.
  • W ZFC+  można udowodnić, że „ZFC+  jest niesprzeczne”.
  • W ZFC+  można udowodnić, że „ZFC+  jest niesprzeczne”.

Liczby niesprzeczne z V=LEdytuj

Dla wielu matematyków fakt że nie można udowodnić w ZFC niesprzeczności istnienia dużych liczb jest trochę odstraszającym. Jednak w miarę akumulacji istotnych wyników mówiących o definiowalnych podzbiorach prostej rzeczywistej a wymagających założenia istnienia pewnych dużych liczb, liczba przeciwników tego typu postulatów maleje. Można zaryzykować tezę, że współcześni matematycy nie mają wątpliwości że założenia istnienia dużych liczb które są niesprzeczne z aksjomatem konstruowalności są całkowicie akceptowalne. Wśród liczb które mogą istnieć w L znajdują się następujące liczby.

  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest (słabo) nieosiągalna, jeśli jest ona graniczną regularną liczbą kardynalną, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.
  • Liczba słabo Mahlo to słabo nieosiągalna liczba   taka, że zbiór   jest regularną liczbą kardynalną   jest stacjonarnym podzbiorem  
Jeśli   jest liczbą słabo Mahlo, to nawet zbiór   jest słabo nieosiągalna   jest stacjonarny.
  • Liczba Mahlo to silnie nieosiągalna liczba   taka, że zbiór   jest regularną liczbą kardynalną   jest stacjonarnym podzbiorem  
Jeśli   jest liczbą Mahlo, to nawet zbiór   jest silnie nieosiągalna   jest stacjonarny.
  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest liczbą słabo zwartą, jeśli:
dla każdej funkcji   istnieje zbiór   mocy   taki, że obcięcie   jest funkcją stałą.
Powyżej, dla zbioru     oznacza rodzinę wszystkich dwuelementowych podzbiorów  

Większe liczbyEdytuj

  • Liczba Ramseya to taka liczba kardynalna   że:
dla każdej funkcji   istnieje zbiór   mocy   taki, że dla każdej liczby naturalnej   obcięcie   jest funkcją stałą.
Powyżej, dla zbioru     oznacza rodzinę wszystkich  -elementowych podzbiorów  
  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest mierzalna jeśli istnieje  -zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów  
  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna   jest silnie zwarta jeśli dla każdego zbioru   każdy  -zupełny filtr podzbiorów   jest zawarty w pewnym  -zupełnym ultrafiltrze podzbiorów  
  • Niech   będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Dla zbioru   mocy co najmniej   niech   będzie rodziną wszystkich podzbiorów   mocy mniejszej niż   Powiemy, że   jest liczbą super-zwartą jeśli dla każdego zbioru   mocy co najmniej   istnieje  -zupełny ultrafiltr   podzbiorów   taki, że:
(i) dla każdego zbioru   mamy   oraz
(ii) każda funkcja   taka że   jest stała na zbiorze z  

Zanurzenia elementarneEdytuj

Większość własności dużych liczb powyżej liczby mierzalnej związana jest z istnieniem zanurzeń elementarnych V w pewien model wewnętrzny M. Przypuśćmy, że   jest liczbą mierzalną, oraz   jest  -zupełnym ultrafiltrem na   Wówczas ultrapotęga   jest modelem ufundowanym; niech M będzie kolapsem Mostowskiego tego ultraproduktu. Z kanonicznego zanurzenia V w ultrapotęgę otrzymujemy zanurzenie elementarne   takie, że   Duża część własności większych liczb kardynalnych może być zdefiniowana przez użycie zanurzeń elementarnych   spełniających pewne dodatkowe własności (a odpowiednie liczby są opisane wówczas jako pierwsze które zostały ruszone przez takie zanurzenia).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  • Thomas Jech: Set theory, The third millennium edition, „Springer Monographs in Mathematics”, Springer-Verlag, Berlin 2003, ​ISBN 3-540-44085-2​.
  • Akihiro Kanamori: The higher infinite. Large cardinals in set theory from their beginnings, Wydanie II, „Springer Monographs in Mathematics”, Springer-Verlag, Berlin 2003, ​ISBN 3-540-00384-3​.

Linki zewnętrzneEdytuj

Artykuły na Stanford Encyclopedia of Philosophy (ang.) [dostęp 2018-01-29]: