Dwumian Newtona

wzór na potęgę sumy dwóch składników

Dwumian Newtona, wzór dwumianowy, wzór dwumienny, wzór Newtona – tożsamość algebraiczna opisująca potęgę dwumianu jako sumę jednomianów postaci Jeśli wykładnik jest liczbą naturalną, to w każdym z tych jednomianów:

  • wykładniki przy oraz sumują się do
  • współczynniki są dodatnimi liczbami naturalnymi, znanymi jako współczynniki dwumianowe i opisane symbolami Newtona.

Nazwa wzoru pochodzi od nazwiska Isaaca Newtona, który w 1676 roku uogólnił go na wykładniki ujemne i ułamkowe[1]. Poprawność tego uogólnienia udowodnił w XIX wieku Niels Henrik Abel[2].

Wykładnik naturalny edytuj

Twierdzenie edytuj

 
Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala

Jeśli   są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu   można rozłożyć na sumę postaci

 

gdzie   oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując   (także w przypadku, gdy   lub  ), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

 
Uwagi
  1. W szczególności dla   lub   dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona  
  2. Współczynniki dwumianowe są elementami   wiersza w trójkącie Pascala.
Przykłady
 
 
 

Dowód edytuj

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla   jest

 

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego   Wtedy dla   mamy

 

co kończy dowód.

Uogólnienie edytuj

Istnieje wzór na ogólniejsze potęgi sumy   gdzie   są rzeczywiste,   oraz   a wykładnik   jest rzeczywisty lub zespolony. Wzór ten zawiera uogólniony symbol Newtona[potrzebny przypis]:

 

Historia edytuj

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane matematykom żyjącym przed nim:

Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i trójkąt Pascala znali[5]:

Uwagi edytuj

  1. W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością.

Przypisy edytuj

  1. dwumian Newtona, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-07].
  2. Grzegorz Łukaszewicz, Baruch Spinoza i matematyka, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, styczeń 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10] (pol.).
  3. Eric W. Weisstein, Binomial Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
  4. J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.
  5. James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal’s Triangle. [w:] Archives of Historia Matematica [on-line]. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].