Dwumian Newtona

Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu można rozwinąć w sumę jednomianów postaci W każdym z tych jednomianów współczynnik jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy oraz sumują się do Współczynniki przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

TwierdzenieEdytuj

 
Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala

Jeśli   są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu   można rozłożyć na sumę postaci

 
gdzie   oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując   (także w przypadku, gdy   lub  ) można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

 
Uwagi
  1. W szczególności dla   lub   dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona  .
  2. Współczynniki dwumianowe są elementami   wiersza w trójkącie Pascala.
Przykłady
 
 
 

Dowód twierdzeniaEdytuj

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla   jest

 

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego   Wtedy dla   mamy

 

co kończy dowód.

HistoriaEdytuj

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim.

W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2[1][2], podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym:

którzy uzyskali podobne wyniki[3].

UogólnienieEdytuj

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną)  -tą potęgę sumy   w której   są rzeczywiste,   oraz  :

 

UwagiEdytuj

  1. W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością.

PrzypisyEdytuj

  1. Binomial Theorem.
  2. J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.
  3. James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal’s Triangle. W: Archives of Historia Matematica [on-line]. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].